Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Построить (циркулем и линейкой) на окружности k четвертую точку D так, чтобы в полученный четырех­угольник ABCD можно было вписать окружность.

(7 очков)

6. Дан равнобедренный треугольник АBС', rрадиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. Докажите, что расстояние d между цент­рами окружностей есть

d=Ц(r(r-2r)).

(6 очков)

7. Тетраэдр SABC обладает следующим свойством: существуют 5 сфер, касающихся ребер SA, SB, SC, АВ, ВС, СА или их продолжений.

Докажите, что а) тетраэдр SAВС правильный, б) об­ратно — для каждого правильного тетраэдра сущест­вуют пять таких сфер.

(8 очков)

Для получения премии на олимпиаде требовалось 46—41 очко для I премии, 40—34 очка для II пре­мии, 33—29 очков для III премии.

Всего было присуждено 4 первые, 12 вторых и 15 третьих премий. Из них советские школьники получили 2 первые, 2 вторые и 2 третьи.

Вот какие задачи пришлось решать участникам V Международной математической олимпиады, которая проходила летом 1963 г. в Польше.

1. Найти все вещественные корни уравнения

Ц(x2- р)+1Ц(x2-1)=х,

где р — вещественный параметр.

(6 очков)

2. Найти в пространстве геометрическое место вершин прямых углов, одна сторона которых проходит через данную точку А, а другая имеет по крайней мере одну общую точку с отрезком ВС.

(7 очков)

3. Доказать, что

cos(p/7)-cos(2p/7)+cos(3p/7)=1/2.

(6 очков)

4. Ученики А, В, С, D, E участвовали в одном кон­курсе. Пытаясь угадать результаты соревнования, некто предполагал, что получится последовательность А, В, С, D, E. Но оказалось, что он не указал верно ни места какого-либо из участников, ни никакой пары следующих непосредственно друг за другом учеников. Некто другой, предполагая результат D, A, E, С, В, угадал правильно места двух учеников, а также две пары (непосредственно следующих друг за другом уче­ников). Каков был на самом деле результат конкурса?

(8 очков).

Дипломом I степени были награждены участники, набравшие от 35 до 40 очков, II степени — от 28 до 34 очков, III степени — от 21 до 27 очков. Советские школьники получили 4 диплома I степени (из 7), 3 диплома II степени (из 11), 1 диплом III степени (из 17). В журнале «Математика в школе», № 6, 1963, помещены решения задач III Всероссийской и V Меж­дународной олимпиад.

Со 2 по 10 июля 1964 г. в Москве в здании Мос­ковского университета проводилась VI Международная математическая олимпиада. Участникам были предло­жены следующие задачи:

1. а) Определить все целые положительные числа n, для которых число 2n-1 делится на 7.

б) Доказать, что ни при каком целом положитель­ном n 2n+1 не делится на 7.

(7 очков)

2. Обозначим через а, b, с длины сторон некоторого треугольника. Доказать, что

a2(b+с-а)+b2(а+с-b)+с2(а+b-с)Ј3аbс.

(7 очков)

3. В треугольнике АBС со сторонами а, b, с вписана окружность и построены ее касательные, параллельные сторонам данного треугольника. Эти касательные отсе­кают от данного треугольника ABC три новых тре­угольника. В каждый из таким образом построенных треугольников вписана окружность. Вычислить сумму площадей всех четырех кругов.

(6 очков)

4. Каждый из 17 ученых переписывается с осталь­ными. В их переписке речь идет лишь о трех темах, каждая пара ученых переписывается друг с другом лишь в связи с одной темой. Доказать, что не менее трех ученых переписываются друг с другом об одной и той же теме.

(6 очков)

5. На плоскости даны пять точек. Среди прямых, соединяющих эти пять точек, нет параллельных, пер­пендикулярных и совпадающих. Проводим через каж­дую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные четыре точки. Каково максимальное число точек пересечения этих перпендикуляров между собой, не считая данные пять точек?

(7 очков)

6. Дан тетраэдр ABCD. Вершина D соединена с центром тяжести основания точкой D1. Через вер­шины треугольника АBС проведены прямые, парал­лельные DD1, до пересечения с плоскостями противо­положных граней в точках A1 ,B1, С1. Доказать, что объем тетраэдра ABCD в три раза меньше объема тет­раэдра A1B1C1D1.

Будет ли верным результат, если точка D1 — про­извольная точка внутри треугольника АBС?

(9 очков)

Для получения премии требовалось: 37—42 очка для I премии, 31—36 очков для II и 27—30 очков для III премии. Набравшим 30 очков были вручены дип­ломы участников олимпиады.

7 из 8 советских участников получили премии. Из них 3 первые (из 7), 1 вторую (из 9), 3 третьи (из 19) премии. Команда Венгрии получила 3 первые, 1 вто­рую и 1 третью премии; Польши —1 первую, 1 вторую и 3 третьих; Румынии — 2 вторые и 3 третьих; Чехо­словакии — 2 вторые и 2 третьи; ГДР — 1 вторую и 2 третьи; Болгарии — 3 третьи; Югославии — 1 вторую и 1 третью; Монголии — 1 третью премию.

Олимпиады повышают у учащихся интерес к ма­тематике. Возможно, что многие читатели Детской эн­циклопедии станут участниками олимпиад, некото­рые же победителями на них, а впоследствии и уче­ными.

ЧТО ЧИТАТЬ ПО МАТЕМАТИКЕ

Предлагаемый читателю Детской энциклопедии спи­сок научно-популярных книг по математике разбит на несколько разделов, тематически связанных с груп­пами математических статей настоящего тома. Исключе­ние составляет лишь первый раздел, куда включены книги, относящиеся ко многим вопросам математики и ее истории. В каждом разделе (помимо обобщающих книг, с которых начинается раздел) указываются кни­ги, дополняющие и углубляющие соответствующие статьи энциклопедии. Поэтому большинство книг рас­считано на школьников старших классов. В список включены также и книги, которые с интересом прочтут школьники VI—VIII классов (в аннотациях этих книг имеется соответствующее указание).

Общие вопросы

Колмогоров А. Н. О профессии математика. Изд.3. М., Изд-во Моск. ун-та, 1960. 30 стр.

Автор книги — выдающийся советский математик — рассказывает о работе математиков-исследователей, о так называемых математических способностях, об организации математического образования в нашей стране.

Люди русской науки. Очерки о выдающихся деяте­лях естествознания и техники. Кн. 1 [математика, ме­ханика, астрономия, физика, химия]. М., Физматгиз, 1961. 600 стр. с илл.

В очерках, написанных видными советскими учены­ми, рассказывается о жизни и творчестве выдающихся деятелей отечественного естествознания и техники. Двенадцать очерков посвящены математикам.

Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки. М., Гостехиздат, 1955. 304 стр. с черт.

Воронцова Л. А. Софья Ковалевская. М., «Мо­лодая гвардия», 1959. 335 стр. с илл. (Жизнь замеча­тельных людей).

Инфельд Л. Эварист Галуа — избранник богов. Перевод с англ. М., «Молодая гвардия», 1958. 368 стр. с илл. (Жизнь замечательных людей).

Оре О. Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. Перевод с английского. М., Физматгиз, 1961. 344 стр. с илл.

Депман И. Я. Рассказы о решении задач. Л., Дет­гиз, 1957. 128 стр. с илл.

Десять рассказов, в которых наряду с решением задач есть интересные математические сведения. Автор на примерах показывает, как важно, решая задачи, внимательно относиться к каждому слову условия. Поч­ти все задачи решаются при помощи четырех действий арифметики.

Эйдельс Л. М. Избушки на дорожках. М., Детгиз, 1960. 175 стр. с илл.

Повесть о школьной газете «Гипотенуза». Герои этой повести, члены математического кружка, сумели сделать по-настоящему интересными и занимательными простые математические задачи — такие же, какие ежедневно решаются в VI—VII классах.

Депман И. Я. Мир чисел [рассказы о математике]. Л., Детгиз, 1963. 72 стр. с илл. (Школьная б-ка).

В небольших очерках, доступных школьникам V—VIII классов, рассказывается о том, как люди на-

учились считать и мерить, о зарождении математики, успехах в ее развитии у разных народов, о возникно­вении основных понятий арифметики, алгебры, гео­метрии.

Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. Изд. 2. М., Учпедгиз, 1961. 167 стр. с илл.

Книга знакомит читателя с биографиями оте­чественных математиков, с интересным материалом по истории математики, математической логике, счетным приборам и машинам и с другими вопросами.

Перельман Я. И. Живая математика. (Математиче­ские рассказы и головоломки). Изд. 7. М., Физматгиз, 1962. 184 стр. с илл.

В увлекательной форме маленьких рассказов изла­гаются математические задачи и даются полезные прак­тические приемы счета и измерения. Для чтения кни­ги достаточно знания правил арифметики и элементар­ных сведений из геометрии.

Кордемский Б. А. Математическая смекалка. Изд. 7. М., Физматгиз, 1963. 568. стр. с илл.

Сборник из 365 математических миниатюр: разнооб­разных задач, математических игр, шуток и фокусов, требующих работы ума, развивающих смекалку и логич­ность в рассуждениях. В книге имеется материал для читателей с различной степенью подготовки.

Доморяд А. П. Математические игры и развлечения. М., Физматгиз, 1961. 268 стр. с илл.

Перельман Я. И. Занимательные задачи и опыты. М., Детгиз, 1959. 528 стр. с илл. (Школьная б-ка).

Радемахер Г., Теплиц О. Числа и фигуры. Опыты математического мышления. Перевод с немецкого. Изд. 3. М., Физматгиз, 1962. 264 стр. с илл. (Б-ка мате­матического кружка).

Каждый из 27 маленьких очерков, посвященных различным вопросам математики,— образец доступного научного исследования. Ценность книги в том, что она не только знакомит с материалом, над которым работает наука, но и показывает научные методы в действии.

Литцман В. Где ошибка? Перевод с нем. М., Физматгиз, 1962. 192 стр. с илл.

Без сомнения, у всех вызовут улыбку утвержде­ние: «2=1» и что «каждый треугольник— равнобедрен­ный». Однако «доказательства» этих (и многих других столь же удивительных) утверждений можно найти в этой книге. Разумеется, эти «доказательства» содер­жат ошибки, но где? Ответ предоставляется найти читателю.

Дубнов Я.С. Ошибки в геометрических доказатель­ствах. Изд. 3. М., Физматгиз, 1961. 68 стр. с черт. (По­пулярные лекции по математике).

Соминский И. С. Метод математической индукции. Изд. 6. М., Физматгиз, 1961. 48 стр. (Популярные лек­ции по математике).

Особый метод математических доказательств, поз­воляющий на основании частных наблюдений делать заключения об общих закономерностях.

Головина Л. И., Яглом И. М. Индукция в геомет­рии. Изд. 2. М., Физматгиз, 1961. 100 стр. с черт. (По­пулярные лекции по математике).

На подробно разобранных примерах указываются разнообразные применения метода математической индукции к решению геометрических задач.

Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы. (Эле­менты алгебры логики). Изд. 3.. М., Физматгиз, 1959. 128 стр. с илл.

507