Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.
Маски для молодой кожи читать далее.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

В древней Греции каждые четыре года проводились Олимпийские игры — общенациональные состязания в беге, метании диска, борьбе, езде на колесницах и т. п. Четырехгодичные промежутки между двумя Олимпий­скими играми получили название олимпиад — по ним тогда вели счет времени. С конца прошлого века олим­пиадами стали называть международные спортивные соревнования, которые также бывают раз в четыре года.

Математические олимпиады впервые возникли в нашей стране в 1934 г. Они хотя и называются олим­пиадами, но совсем не связаны с четырехлетними пе­рерывами и проводятся ежегодно. Вначале у нас были только городские олимпиады.

С 1960 г. организуются Всероссийские, а факти­чески Всесоюзные олимпиады. Их участники — школь­ники, соревнующиеся между собой в математических знаниях и сообразительности. Все соревнование состоит из четырех туров, на каждом из которых участникам предлагается решать задачи в письменном виде (обычно даются четыре задачи). Тот, кто хорошо решит задачи (быть может, не все), считается победителем в этом туре и допускается к следующему.

Вот некоторые задачи, которые предлагались на четвертом (заключительном) туре в 1963 и 1964 гг. (на III и IV Всероссийских олимпиадах).

VIII класс

1. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На про­должении стороны АВ откладывается отрезок ВМ=АВ, на продолжении стороны ВС — отрезок CN=ВС, на продолжении стороны CD — отрезок DP = CD и на продолжении стороны DA — отрезок 'AQ=AD.

Доказать, что площадь четырехугольника MNPQ в пять раз больше площади четырехугольника ABCD.

2. Доказать, что m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m.

3. Дан произвольный набор 2k + 1 целых чисел a1, a2, ..., a2с+1. Из него получается новый набор:

(a1+a2)/2; (a2+a3)/2; ...; (a2k+1+a1)/2.

Из этого набора — следующие по тому же правилу и т. д., причем все получающиеся числа — целые. Дока­зать, что все первоначальные числа равны.

4. Каждая из диагоналей выпуклого четырехуголь­ника ABCD делит его площадь пополам. Доказать, что ABCD — параллелограмм.

IX класс

1. В клетки таблицы nXn (n — нечетное) произ­вольным образом вписаны числа так, что в каждой клет­ке стоит число, равное +1 или -1. Произведение чисел, стоящих в каждой строке, обозначим через ak, а произведение чисел, стоящих в каждом столбце,— через bk (k=1, 2,..., n). Доказать, что

a1+a2+...+аn+b1+b2+...+bn0.

2. Решить в целых числах уравнение

где Цn повторяется 1964 раза.

3. На плоскости нарисована сеть, образованная из правильных шестиугольников со стороной 1. Жук прополз, двигаясь по линиям сети, из узла А в узел В по кратчайшему пути, равному 100. Доказать, что поло­вину всего пути он полз в одном направлении.

X—XI классы

1. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Из­вестно, что каждая из диагоналей AD, BE, CF делит его площадь пополам. Доказать, что эти диагонали пересекаются в одной точке.

2. Дана арифметическая прогрессия, члены кото­рой — целые положительные числа. Известно, что в этой прогрессии есть член, являющийся полным квад­ратом. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много таких членов.

3. На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?

В последние годы проводятся международные олимпиады, в которых принимают участие пока только социалистические страны. Так, летом 1962 г. в Чехо­словакии состоялась IV Международная математиче­ская олимпиада учащихся двух последних классов средних школ. Участникам были предложены следую­щие задачи (в скобках после каждой задачи указано количество очков, начисляемое за ее решение).

1. Найти наименьшее натуральное число n, обла­дающее следующими свойствами:

а) его запись в десятичной системе заканчивается цифрой 6;

б) если зачеркнуть последнюю цифру 6 и перед оставшимися цифрами написать эту цифру 6, то полу­пится число в четыре раза больше исходного числа.

(6 очков)

2. Определить все действительные числа х, удов­летворяющие неравенству

Ц(3-x)-Ц(x+1)>1/2.

(6 очков)

3. Дан куб ABCDA'B'C'D' (ABCD и A'B'C'D'— со­ответственно верхнее и нижнее основания и АА' || ВВ' ||СС' ||DD'). Точка X движется с постоянной скоростью по сторонам квадрата ABCD в направлении ABCDA, и точка У движется с той же скоростью по сторонам квадрата В'С'СВ в направлении В'С'СВВ'. Точки X и У начинают двигаться в один и тот же момент из исходных положений А и В' соответственно.

Найти и начертить геометрическое место середин отрезков XУ.  

(8 очков)

4. Решить уравнение

cos2x +cos22x+cos23x=1.

(5 очков)

5. На окружности k заданы три различные точки А, В, С.

505