три равные части) и 3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу). Все эти по­строения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую).

В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т. е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равнове­ликие им квадраты.

В конце V в. Гиппократ составил первые «Нача­ла» — систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел.

IV в. до н. э. (первая половина) — афинский мате­матик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациональностей и начал классификацию их. Он определил простейшие классы квадратичных иррацио­нальностей, такие, как Цa, Цa ± Цb,

Ц(Цa±Цb), Цab, Ц(Цab),..., которые были впо­следствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что ³Ца иррационален, если а не является кубом.

IV в. до н. э. (середина) — великий математик и астроном древности Евдокс из Книда создает общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпа­дает по существу с теорией действительных чисел, пред­ложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определе­ния площадей и объемов Евдокс разработал так назы­ваемый метод исчерпывания. В основе обе­их теорий лежало общее учение о величинах. Величины определялись аксиоматически, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а>b, то можно повторить b столько раз, что nb>а. С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что ко­нус равновелик ¹/₃ цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновелика ¹/₃ соответствующей призмы. Он доказал также, что площа­ди двух кругов относятся как квадраты их диаметров.

300 г. до н. э.—Евклид создает свои «Начала», в ко­торых подводит итог всему предшествующему развитию античной математики. Метод изложения «Начал» полу­чил название дедуктивного и стал образцом для построе­ния математической теории. В «Началах» не только впервые систематически излагалась геометрия, но и элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь формулировался алго­ритм Евклида для нахождения наибольшего общего де­лителя двух чисел, доказывалось, что произведение двух простых чисел pq не может делиться ни на какое третье простое число, а также устанавливалось, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных тел: куб, тет­раэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — и никаких дру­гих правильных тел нет.

III в. до н. э. — Архимед разрабатывает методы нахождения площадей и объемов, а также методы опре­деления касательных и наибольших и наименьших зна­чений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия пла­вающих тел (см. стр. 472—474). Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчи­сления, созданного в XVII в.

III—II вв. до н. э. — Аполлоний систематически и всесторонне исследует конические сечения, раз­вивая методы как аналитической, так и проектив­ной геометрии. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания аналитической ге­ометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проектив­ной геометрии Б. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при иссле­дованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Га­лилея и И. Ньютона.

I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике.

I в. (конец) — Менелай создает систематический курс сферической геометрии, построенный по образ­цу «Начал» Евклида, и развивает сферическую триго­нометрию.

Во II в. Птолемей в своих астрономических трудах излагает плоскую и сферическую тригонометрию; он выводит формулу, равносильную

sin (a±b)=sinacosb±cosasinb,

и составляет подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропу­щенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля.

III в. н. э. — Диофант Александрийский, послед­ний великий математик древности, пишет «Арифмети­ку», в которой формулирует общие правила алгебры: правило переноса членов из одной части уравнения в другую и правило приведения подобных членов, а также правило умножения многочлена на многочлен, причем отмечает, что «вычитаемое на вычитаемое дает слагае­мое». В этой книге впервые в истории науки вводится алгебраическая символика для обозначения неизвест­ного и первых его положительных и отрицательных сте­пеней вплоть до шестой, а также для равенства и вычи­тания. Диофант развивает учение о решении неопре­деленных уравнений с целыми коэффициентами в целых или рациональных числах. Эти уравнения получили в современной математике название диофантовых.

Математика стран Дальнего, Среднего и Ближнего Востока

II в. до н. э. — создание древнейшего дошедшего до нас китайского математического трактата «Матема­тика в девяти книгах», содержащего сведения по ариф­метике и геометрии. При решении задач в трактате при­меняется теорема Пифагора. Наиболее замечательным является единообразный метод решения системы ли­нейных уравнений. При этом появляются отрицательные числа, для которых формулируются правила сложения и вычитания. В трактате излагается также алгоритм вы­числения квадратных и кубических корней, аналогич­ный современному. Этот алгоритм в VII—XIII вв. был перенесен на случай вычисления корней общих уравне­ний третьей и четвертой степеней. Он совпадает в ос­новном с так называемой схемой Горнера, полученной в Европе в XIX в.

502