Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

ние — взаимно обратные операции. Об этом свойстве хорошо знал и Ньютон. Но только Лейбниц увидел здесь ту замечательную возмож­ность, которую открывает применение символи­ческого метода.

Любой человек, изучив небольшое число правил действия с символами, обозначающими операции дифференцирования и интегрирова­ния, становится обладателем мощного матема­тического метода. В наше время такие символы операций называют операторами. Операторы дифференцирования d( ) и интегрирования ?( ) dx действуют на функции, «перерабатывая» их в другие, точно вычисляемые функции (см. статью «Интеграл и производная»). Лейбниц разрабатывает особую алгебру действий с эти­ми операторами. Он доказывает, что обычное число a можно выносить за знак оператора:

d(af(x))=ad(f(x)).

Одинаковые операторы можно выносить за скоб­ку:

Сокращенно все перечисленные свойства можно выразить соотношением:

d (af(х)+bj(х))=ad(f(x))+bd(j(x)),

где a и b — числа.

Операторы, которые обладают таким свой­ством, называются линейными. Теория линей­ных операторов, которую с таким успехом на­чал развивать Лейбниц, в современной матема­тике является хорошо разработанной и полез­ной в приложениях теорией.

Многократное применение операторов можно понимать как степень оператора; на­пример, для d():

То, что основные операторы математиче­ского анализа являются взаимно обратными, Лейбниц подчеркивает своей символикой, утвер­ждая, что d(x) и ?( ) dx так же взаимно обратны, как степени и корни в обыкновенном исчис­лении. Употребляют так же обозначение, ана­логичное обозначению а-1 числа, обратного а, причем произведение а•а-1=1. Обозначая опе­раторы: d-1( )=?( )dx или, наоборот:

и понимая под их произведением последова­тельное их применение, имеем:

т. е. произведение есть «единица», не меняющая функцию.

Анализируя правила логики, правила рас­суждений, Лейбниц увидел, что и здесь можно применить подходящую символику и свести раз­нообразные приемы умозаключений к неболь­шому числу точно определенных операций. Та­кое исчисление умозаключений, или, как его теперь называют, алгебра логики, в наши дни приобрело большое значение. На его основе создаются современные электронные вычисли­тельные машины; теория таких «думающих» ав­томатов имеет большое принципиальное значе­ние. Всю Вселенную Лейбниц рассматривал как гигантский кибернетический автомат. Отме­чая роль, которую сыграли идеи Лейбница для кибернетики, творец кибернетики Н. Винер в шутку писал: «Если бы мне пришлось выби­рать в анналах истории наук святого — покро­вителя кибернетики, то я выбрал бы Лейбница».

Сам Лейбниц также стремился воплотить в машине свои мысли о механизации и автомати­зации мыслительных процессов. Он построил металлическую счетную машину, которая могла складывать, вычитать и умножать целые числа. Эта счетная машина произвела большое впечат­ление на ученых того времени. После того как Лейбниц показал свою машину в Английской академии наук, так называемом Лондонском королевском обществе, его избрали загранич­ным членом этого общества.

Поиски операторов и исчислений в области систем алгебраических уравнений первой сте­пени со многими неизвестными привели Лейб­ница к созданию нового важного понятия — определителя системы таких уравне­ний. О том, что такое определитель, можно подробно узнать в любом курсе высшей алгеб­ры. В наши дни определитель стал совершенно необходимым инструментом как в самой мате­матике, так и в разнообразнейших ее приме­нениях.

Необыкновенная проницательность Лейб­ница сказывается и в его отношении к матема­тическим играм. Он писал: «Мы часто заме­чали, что люди проявляют более всего изобре­тательности в играх, и поэтому математические игры заслуживают внимания... потому что раз­вивают находчивость». В другом месте Лейбниц пишет: «...игры, как требующие ловкости, так и основанные на случайности, дают громад-

487