Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

n=0, 1, 2, 3, 4 формула и будет давать про­стые числа 3, 5, 17, 257, 65 837, однако при n=5 получается число 4 294 967 297, которое делится на 641. Числа вида 22n+1 носят теперь название чисел Ферма. Они встречаются во мно­гих исследованиях по теории чисел. Однако до сих пор неизвестно, имеется ли среди этих чи­сел бесконечно много простых или нет.

2. В поисках критерия для определения того, является ли данное число простым, Ферма на­шел следующую замечательную теорему: если n — простое число и а — целое число, которое не делится на n, то an-1-1 нацело делится на п. Так, например, 56-1 без остатка делится на 7, а 74-1 делится на 5. Но 25-1 не будет де­литься на 6, следовательно, число 6 непростое. Эта теорема получила название малой теоремы Ферма. Она была впервые доказана Л. Эйлером, и теперь известно много ее различных доказа­тельств. Она играет фундаментальную роль при исследовании проблем теории чисел и тео­рии групп.

3. Еще большую известность, чем «малая», получила «большая», или «великая», теорема Ферма, в которой утверждается, что уравнение

хnn=zn (1)

не имеет целых решений, если только n>2.

Случай n=2 был рассмотрен еще в древности; тогда же было доказано, что решений у такого уравнения будет бесконечно много. На полях «Арифметики» александрийского математика Диофанта, где излагалась эта задача, Ферма записал свою «великую» теорему. Он добавил, что нашел для нее «поистине чудесное доказатель­ство», однако не может его записать из-за недо­статка места. С тех пор прошло около 400 лет, но общее доказательство «великой» теоремы до сих пор не найдено.

Интересна ее судьба. С одной стороны, ма­тематики, стараясь доказать теорему, развивали все более и более тонкие методы, открывали новые обширные области для исследований. В настоящее время теорема доказана для всех nЈ10 000.

С другой стороны, эта теорема получила большую известность среди неспециалистов. Их привлекала простота формулировки, а также загадочное замечание Ферма о найденном им «чудесном» доказательстве. Сотни людей тра­тили и до сих пор тратят свое время и силы, пытаясь доказать «великую» теорему элемен­тарными средствами, ничего не зная об истории этой теоремы и о ее взаимосвязях с современными математическими теориями. Быть может, ни одна из теорем математики не принесла людям так много горьких разочарований и об­манутых надежд. Теперь уже ясно, что людям, незнакомым с современной высшей математи­кой, не следует приниматься за доказательство этой теоремы.

4. «Великая» теорема представляет собой одну из задач так называемого диофантова анализа. Уравнение с двумя или более неизвест­ными, как, например, хnn=zn, называется неопределенным. Одна из главных задач диофантова анализа: узнать, имеет ли заданное неопределенное уравнение с целыми коэффи­циентами целые решения или нет, а если реше­ния имеются, то конечное ли их число или бес­конечное и в последнем случае постараться оп­ределить их все (например, так, как это было сделано в древности для уравнения (1) при n=2). Сам Ферма исследовал неопределенное уравнение

x2-аy2=± 1. (2)

В «Началах» Евклида говорится, как найти бесконечное множество решений уравнения х2-2y2=±1

исходя из наименьшего: x0=1, y0=1. Сле­дующее решение будет: x10+2у0=3; у100=2. И вообще, если xn, yn — решение, то из него можно получить следующее решение по формулам:

xn+1=xn+2yn, yn+1=хn+yn .

Ферма исследовал уравнение (2) при любом целом неквадратном а. В одном из своих писем он поставил перед математиками следующие задачи: 1) дать способ нахождения наименьшего реше­ния этого уравнения; 2) найти формулы для нахождения всех остальных решений, если наименьшее уже известно. Сам Ферма, безус­ловно, владел методом решения обеих задач. Чтобы узнать, имеется ли метод у других ма­тематиков, он нарочно выбрал такие значения а, для которых наименьшее решение очень велико, и поэтому его трудно найти простым подбором.

Исчерпывающее решение обеих задач было получено только Л. Эйлером и Ж. Лагранжем в XVIII в.

Мы остановились здесь только на несколь­ких проблемах, которыми занимался великий математик. Но и их достаточно, чтобы оценить силу его гения.

482