Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Решение игры в смешанных стратегиях. Основная теорема теории игр

Мы знаем, что если нижняя цена игры a равна верхней b (максимин равен минимаксу), то игра имеет седловую точку и по крайней мере одно решение в чистых стратегиях.

А если a№b? Можно доказать, что и в этом случае решение всегда есть, только оно лежит не в области чистых, а в области смешан­ных стратегий. Решением игры называется такая пара стратегий — в общем случае смешанных, систематическое применение которых обеспечивает каждой стороне макси­мально возможный для нее по условиям игры выигрыш, определяемый ценой игры. Если же одна из сторон отступает от своей оптималь­ной стратегии (в то время как другая продол­жает придерживаться своей), то это ни в коем случае не может быть выгодно для отступаю­щего: это либо оставит его выигрыш неизменным, либо уменьшит. Таким образом, каждая конеч­ная игра имеет решение (возможно, в области смешанных стратегий). Это положение назы­вается основной теоремой теории игр.

Введем специальное обозначение для сме­шанных стратегий. Пусть К применяет свои стратегии К1, К2, К3 с частотами соответст­венно р1, р2, р3 (p1+p2+p3=1). Эту смешанную стратегию будем обозначать:

Аналогично смешанную стратегию игрока Г будем обозначать:

Очевидно, любая чистая стратегия — част­ный случай смешанной, в которой все частоты, кроме одной, равны нулю, а одна — единице.

Решение игры — пару оптимальных стра­тегий — будем обозначать S*k и S*c , а соответ­ствующий ему выигрыш (цену игры) v.

Очевидно, что цена игры v не может быть мень­ше нижней и больше верхней цены:

aЈvЈb.

В первом примере мы путем нестрогих соображений догадались, что решение игры должно быть:

а цена игры v = 0. Проверим это. Пусть мы («красные») держимся своей стратегии S*k, т. е. ищем С в убежище I и II одинаково часто, че­редуя эти стратегии случайным образом. Мо­жет ли С улучшить свое положение (повысить свой выигрыш), отступая любым образом от своей стратегии S*с? Очевидно, нет. А если од­ностороннее отступление от стратегии S*k при­дет в голову нам (в то время как разумный С будет держаться стратегии S*c), то это нам то­же не может быть выгодно. Значит, мы и в са­мом деле нашли решение игры и ее цену v = 0. Правда, эта игра была довольно простой! Уже второй пример дает игру, решение которой не так очевидно. Из того, что в нем a№b, сле­дует только, что решение нужно искать в сме­шанных стратегиях.

Но каково это решение? Какова цена игры? Выгодна ли игра «красным», или «синим», или никому из них?

Ответы на эти вопросы вы можете найти в книге, указанной на стр. 509.

Решения и ответы

Решение к стр. 386. Введем обоз­начения: а — Саша, b — Костя, с — не Саша, d —18 лет, е — 21 год и f — 25 лет.

Мама сказала: «a•е», папа сказал: «bd», а дочь сказала: «с•f». Так как часть каждой информации неверна (имеет значение 0), то ae=bd=cf=0 и а+е=1, b+d=l, c+f=l. Сын Николая Ивановича не может иметь сразу два имени и два возраста; следовательно, а•b=a•с=de=de=ef=0.

Перемножим суммы a+е=1 и b+d=l, тогда ab+ad+be+ed=1; после выбрасывания нулевых членов останется равенство: ad+be=1. Перемножим эту сумму и сумму с+f=1,что после выбрасывания нуле­вых членов даст равенство b•с•е=1, откуда следует, что b=1, с=1 и е=1 (верная информация). Значит, сына Николая Ивановича зовут не Саша (с=1), а Костя (b=1) и возраст его 21 год (е=1).

Решение к стр. 461. Пусть число рыб в озере, годных для улова данной сетью, равно х. Тогда отноше­ние числа меченых рыб к числу всех рыб равно

38/x.

Во второй раз рыбовод выловил 53 рыбы, из них две меченые. Следовательно, отношение числа меченых рыб к числу выловленных равно 2/53.

Будем предполагать, что меченые рыбы равномерно распределились сре­ди всех рыб в водоеме, тогда оба отношения одинаковы: 38/x=2/53, откуда

x=1007.

Значит, в озере имеется примерно тысяча рыб, годных для улова данной сетью.

ВЫДАЮЩИЕСЯ МАТЕМАТИКИ

АРХИМЕД

Если бы любому современному математику предложили назвать имена пяти самых круп­ных ученых его области, то, какие бы он ни выбрал остальные четыре имени, первым бу­дет названо имя Архимеда, великого математи­ка, механика и инженера древности.

Архимед родился в 287 г. до н. э. в Сира­кузах — богатом торговом городе Сицилии. Под руководством своего отца, астронома Фидия, получил он первоначальное образование. Очень рано Архимед начал интересоваться астрономией, механикой и математикой. Для завершения образования юноша поехал в

Александрию Египетскую — научный и куль­турный центр того времени. В Александрии жи­ли и работали крупнейшие ученые античного мира — астроном Конон, разносторонний уче­ный Эратосфен и другие, а несколько раньше там создавал свои знаменитые «Начала» Евклид. Пе­ред Архимедом раскрыла свои богатства и знаменитая Александрийская библиотека, кото­рая насчитывала около 700 тыс. рукописей. Здесь он смог познакомиться с трудами Де­мокрита, Евдокса и других замечательных греческих геометров.

Наиболее плодотворный период деятельно­сти Архимеда как математика, механика-тео­ретика и конструктора начался после его воз-

472