Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

обозримо велико — настолько велико, что их перечисление выходит за пределы возможно­стей не только человека, но и современной вы­числительной машины. А жаль! Потому что, если бы построение матрицы шахматной игры было возможно, это имело бы очень любопыт­ные последствия... Но не будем забегать впе­ред.

Примеры конечных игр. Принцип минимакса

Приведем несколько примеров конечных игр. Каждую из них мы запишем в нормаль­ной форме.

Пример 1. Рассматривается игра, ко­торую назовем «Поиск». В ней участвуют две стороны: К и С. К хочет найти С; С, наоборот, хочет спрятаться от К.

У С есть два места — убежища I и II, где он может прятаться. Выбирает он себе любое убежище. Игрок К по правилам игры тоже может искать С, где ему вздумается. Если он нашел С, С проиграл одно очко, если не нашел, т. е. пошел не в то убежище, где спрятался Г, то, наоборот, К проиграл одно очко. Тре­буется записать игру в нормальной форме.

Решение. У К две стратегии:

К1— искать в убежище I,

К2— искать в убежище II.

У С — тоже две стратегии:

С1 — прятаться в убежище I,

С2 — прятаться в убежище II. Игра конечная — 2x2, матрица игры будет:

К этой игре мы еще вернемся в дальнейшем и найдем ее решение. А пока что просто порас­суждаем за игрока К. Представим себе, что мы игрок К и что нам предлагается выбрать себе стратегию. Что ж, попробуем! Выберем, на­пример, K1, т. е. будем искать всегда в убе­жище I. Но тогда разумный противник через несколько партий догадается о нашей страте­гии и будет прятаться там, где мы его не ищем,

т. е. в убежище II. Плохо! Выберем стратегию К2. Ничуть не лучше: противник снова дога­дается и будет прятаться в убежище I. Что же нам делать? Попробуем применять стратегии К1 и K2 попеременно, через одну партию игры. Но ведь противник и об этом может догадать­ся и будет прятаться каждый раз не там, где мы его ищем. Как ни кинь — все клин! Что же, значит, наше положение безвыходно? При лю­бом выборе стратегии нам придется проигры­вать? Выходит, что так.

Давайте теперь встанем на точку зрения противника. С удивлением мы обнаружим, что его положение — ничуть не лучше нашего! Какую бы стратегию он ни выбрал — все ему невыгодно.

Позже мы с вами решим эту игру, т. е. найдем пару оптимальных стратегий К и С. Впрочем, о них можно по секрету сообщить заранее: каждому игроку надо будет чере­довать свои стратегии, но не регулярно (че­рез одну), а случайным образом (например, подбросить монету и, если она упа­дет гербом, искать в убежище I, а если цифрой — в убежище II). Аналогично должен будет дей­ствовать и С. При этом в среднем на одну пар­тию будет приходиться нулевой выигрыш (цена этой игры будет равна нулю): К не будет ни выигрывать, ни проигрывать. Не очень при­ятно, но все-таки много лучше, чем всегда быть в проигрыше!

Здесь мы впервые столкнулись с одним из важных понятий теории игр — с понятием смешанной стратегии, т. е. чере­дования нескольких «чистых» стратегий по слу­чайному закону в определенных пропорциях, или, как говорят, с определенными часто­там и. В данном примере каждая из страте­гий применяется с частотой 1/2.

Рассмотрим теперь другую игру, решение которой уже не будет столь очевидным.

Пример 2. Игра «Три пальца».

Два игрока К и С одновременно и не сгова­риваясь показывают друг другу один, два или три пальца. Если всего показанных пальцев (первым и вторым вместе) будет четное число, то выигрывает К: он получает столько очков, сколько всего было пальцев, если нечетное — выигрывает С, на тех же условиях. Требуется записать игру в нормальной форме.

Решение. Перенумеруем стратегии по числу показанных пальцев. Игра 3x3. Матрица игры будет:

468