Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

ные») и С («синие»). Для удобства рассуж­дений, чтобы иметь какую-то определенную точку зрения, будем обычно становиться на сторону одного из игроков (пусть это будет К) и говорить о нем «мы», а о другом — «про­тивник». Это не означает, что сторона К будет иметь какое-нибудь реальное преимущество. Просто нам так будет удобнее.

Игра называется игрой с нулевой суммой, если одна сторона выигрывает то, что проигрывает другая, т. е. сумма выигры­шей К и С равна нулю. В жизни часто встре­чаются конфликты, в которых это условие не соблюдается. Например, в военном столкнове­нии вполне возможно, что проигрывают обе стороны. Однако во многих случаях можно, не слишком искажая сущность явления, рас­сматривать парные конфликты как игры с ну­левой суммой.

Итак, допустим, что интересы К и С стро­го противоположны и что сумма выигрышей их равна нулю. Это будет для нас очень удобно в вычислительном смысле. Еще бы! Ведь если выигрыш К равен по величине и противополо­жен по знаку выигрышу С, то можно рассмат­ривать выигрыш только одного из игроков: выигрыш другого определится автоматически.

Давайте выберем в качестве выигрываю­щего игрока К. Игрок К заинтересован в том, чтобы обратить свой выигрыш (обозначим его k) в максимум (сделать его наибольшим). Игрок С, наоборот, заинтересован в том, чтобы обра­тить его в минимум (сделать наименьшим). Каждый из игроков К и C, преследуя свою цель, принимает все меры к тому, чтобы ему было лучше, а сопернику — хуже.

В результате борьбы интересов, если оба противника одинаково разумны, по-видимому, должно быть найдено некоторое равновес­ное положение, при котором каждый игрок получит то, что ему причитается,— не больше и не меньше. Этот равновесный сред­ний выигрыш, на который вправе рассчиты­вать игрок К, если обе стороны будут вести себя разумно, т. е. придерживаться своих опти­мальных (наилучших) стратегий, называется ценой игры.

Если цена игры равна нулю, значит, это справедливая игра, т. е. она в одинаковой мере выгодна или невыгодна той и другой стороне. Если цена игры положительна, значит, игра выгодна для К. Если отрицательна, придется признать, что она выгодна для С...

Решить игру — это значит найти пару оптимальных стратегий (для К и С) и

цену игры, т. е. средний выигрыш игрока К, если оба — и К и С — будут вести себя разумно.

А если разумно будет вести себя только К, а не С? Ну что же — тем хуже для С! Вы­игрыш К от этого уменьшиться не может. В худшем случае он останется таким же, а в лучшем — увеличится.

Игра в нормальной форме. Матрица игры

Мы будем рассматривать только конечные игры, т. е. такие, в которых каждый участник располагает конечным числом стра­тегий.

Если у игрока К имеется в распоряжении т стратегий, а у игрока С имеется n стратегий, игра называется игрой т X п.

Правила игры можно записать в виде таблицы

(или матрицы), в которой m строк и n столбцов. Строки соответствуют стратегиям «красных», которые мы обозначим: K1, К2, ..., Кm, а столбцы — стратегиям «синих»: C1,C2 ...Cn.

В клетках таблицы помещены выигрыши (или средние выигрыши) «красных» при соот­ветствующей паре стратегий. Например, k12 — выигрыш, который получат «красные», если вы­берут стратегию К1, а «синие» — C2; вообще, kij выигрыш «красных» при комбинации стратегий Кi и Cj.

Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры.

Если конечная игра записана в виде такой матрицы, то говорят, что она приведена к нормальной форме. Но попробуйте, например, записать в нормальной форме обык­новенные шахматы! Вы сразу столкнетесь с тем, что количество возможных стратегий не-

467