Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Вероятность того, что определенный меха­низм выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать хорошо, рав­на по теореме умножения р(1-р)5. Меха­низмом, потребовавшим внимания, может ока­заться любой из 6, поэтому вероятность того, что из строя выйдет только один механизм (без­различно какой), равна по теореме сложения

6p(1-p)5.

Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из рабочего состоя­ния, а остальные четыре будут работать нор­мально. С этой целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух определенных механизмов и нормальной рабо­ты остальных четырех равна р2(1-р)4. Но два механизма из шести можно выбрать C26= 15 различными способами. Для каж­дого из них вероятность уже вычислена. В результате по теореме сложения искомая ве­роятность равна 15р2(1-р)4.

Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми способами: все механизмы будут работать безотказно, отка­жет лишь один механизм, откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения равна:

(1-р)6+6р(1-р)5+15р2(1-р)4.

Если, для примера, вероятность выхода ме­ханизма из нормального рабочего состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указан­ный срок:

все механизмы будут работать нормально, равна 0,262144;

только один механизм выйдет из строя, равна 0,393216;

только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760.

Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна 0,90112.

Дополнительные исторические сведения

Конец XVIII и XIX век принесли множе­ство новых задач, связанных со случайны­ми явлениями. Прежде всего бурное раз­витие астрономии, физики, химии, точных тех­нических измерений со всей остротой поста-

вило задачу построения теории ошибок изме­рений. Почти одновременно основы современ­ной теории ошибок наблюдений были созданы двумя крупнейшими математиками — А. Лежандром и К. Гауссом. Далее, развитие воен­ного дела потребовало развития теории стрель­бы. Пока стрельба велась на малые расстояния по видимым целям, задача прицела, например,

При многократной стрельбе по мишени попадания выявляют определенную закономерность.

совсем не могла даже возникнуть. Исключи­тельное значение для прогресса всего естество­знания и науки о случайных явлениях имело развитие молекулярных концепций в физике. Создание кинетической теории газов с особой силой потребовало систематического изучения теории случайных величин.

Такие выдающиеся математики, как П. Лап­лас, С. Пуассон, П. Л. Чебышев, A. M. Ляпунов, А. А. Марков, обогатили теорию вероятностей рядом замечательных открытий.

Вместе с тем во второй половине XIX в. стала все сильнее ощущаться необходимость создания новой математической дисциплины, которая получила название математиче­ской статистики. Среди простейших вопросов, которые относятся к ней, упомянем лишь следующий. Допустим, нам неизвестна вероятность р случайного события А. Как оценить ее значение? С этой целью производят некоторое число n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с неизменной вероятностью p, нам неизвестной. Далее подсчитывают число появлений события А. Отношение этого числа к n дает нужную оценку.

458