Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

и та и другая сумма может осуществиться шестью различными способами, а именно:

11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4,

12 =1+5+6=2+5+5=2+4+6=3+3+6=3+4+5=4+4+4.

Словами: сумма 11 может появиться только тогда, когда или на одной из костей появляется 1, на другой 4 и на третьей 6, или и т. д. Точно так же 12 может появиться только тогда, когда или на одной кости появится 1, на другой 5, на третьей 6, или и т. д.

Казалось бы, 11 и 12 должны появляться одинаково часто, предполагал ландскнехт, однако его долголетний опыт учит другому: 11 появляется несколько чаще, чем 12. В чем же здесь причина?

Мы уже знаем, что всех различных исходов при бросании трех игральных костей будет 216. Теперь задача состоит в том, чтобы под­считать число всех одинаково возможных исхо­дов, при которых в сумме появляется 11 и 12. Мы увидим при этом, что одинаковое число разложений 11 и 12 на сумму трех слагаемых еще не является достаточным основанием для заключения равенства вероятностей этих со­бытий. Все дело в том, что не все эти суммы одинаково часто встречаются. Так, все суммы, 3 которых все три слагаемых различны при под­счете числа возможных исходов, должны быть взяты с большим весом, чем остальные. Дей­ствительно, разложение 11 на сумму слагаемых 1+4+6 может произойти шестью различными способами: (1, 4, 6), (1, 6, 4), (4, 1,6), (4, 6, 1), (6, 1, 4), (6, 4, 1). Мы мысленно нумеруем кости и на первом месте указываем число очков, вы­павших на первой кости, на втором — на вто­рой кости и на третьем — на третьей.

Точно так же суммы, в которых два сла­гаемых одинаковы, например 1+5+5, могут осуществиться лишь тремя различными спо­собами: (1, 5, 5), (5, 1, 5), (5, 5, 1). И, наконец, сумма 4 + 4 + 4 осуществляется одним-единственным способом: (4, 4, 4).

Если теперь учтем только что сказанное, то окажется, что число случаев, при которых в сумме появляется 11, равно: 6+6+6+3+3+3=27, а при которых появляется 12, равно: 6+6+6+3+3+1=25. Таким образом, получаем, что:

Р{11}=27/216, Р{12}=25/216.

Мы теперь же должны сказать, что расши­рение области применений теории вероятно­стей убедительно показало недостаточность того классического определения вероятности, которым мы пользовались, и установило необ­ходимость широкого его обобщения. Такое обобщение сейчас уже произведено, и пока оно удовлетворяет всем запросам как практиков, так и теоретиков. Тем не менее классическое опреде­ление вероятности оказалось исключительно полезным для современного естествознания; оно лежит в основе многих важных заключений.

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Прежде всего рассмотрим две важные фор­мулы, которые лежат в основе действий с ве­роятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения вероятностей. Пусть два события А и В таковы, что при каждом испытании может появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появить­ся они не могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения утверждает, что если А и В несовместны, то

Р{А или В}=Р{А}+Р{В}.

Представим теперь себе, что события А и В таковы, что наступление одного из них не из­меняет вероятности наступления другого. Та­кие события называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема умножения, состоящая в следующем:

Р{А и В}=Р{А}•Р{В}.

Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время прихо­дится часто встречаться при организации про­изводства. Ремонтный рабочий обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может выйти из нормального рабо­чего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р. Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из рабочего режима выйдет не более чем 2 механизма?

Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет из нормального рабочего состояния, равна 1 — р. По теореме умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают благополучно, равна (1-р)6.

457