Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Электронная вычислительная машина «Урал-2» (фото вверху) в роли диагноста в Институте им. А. В. Вишневско­го в Москве. Симптомы излагаются на перфорированной кинопленке, которая закладывается в приемную часть машины (фото внизу).

Получив задание, машина молниеносно выдает ответ, называя одну или несколько болезней, имеющих тождест­венные симптомы.

Три „средних"

Пусть а и b — произвольные положительные числа. Тогда

— среднее арифметическое чисел а и о, Цаbсреднее геометрическое чисел а и b,

b/(a+b) — среднее гармоническое чисел а и b.

Убедитесь сами, что:

а) Среднее гармоническое равно отношению квадрата среднего геометрического к среднему арифметическому.

б) Если написать подряд: а, (a+b)/2, b, то образуются три члена арифметической прогрессии.

в) Если написать подряд: a, Цab, b, то об­разуются три члена геометрической прогрессии.

г) Если взять числа, обратные а и b, составить их среднее арифметическое, а потом снова перейти к обратному числу, то получится среднее гармо­ническое чисел a и b.

д) Среднее арифметическое а и b не меньше среднего геометрического тех же чисел, а послед­нее не меньше их среднего гармонического:

(a+b)/2іЦabі2аb/(a+b)

Докажите, что равенство здесь возможно толь­ко при а=b.

е) Если написать подряд: а, 2ab/(a+b), b и бук­вам а, b придать значения а =1/k, b=1/(k+2),

где k — любое целое положительное число, то

среднее гармоническое чисел а и b, т. е.

2ab/(a+b), примет значение1/(k+1), равное среднему члену последовательности :

1/k,1/(k+1), 1/(k+2).

Последовательность такого вида называется гармонической.

Следом за тремя членами этой последователь­ности можно образовать четвертый член: 1/(k+3) затем пятый: 1/(k+4) и т. д.

Соединяя члены последовательности знаком «+» и полагая k=1, получим числовой ряд:

1+1/2+...+1/n +...,

который называется гармоническим.

Еще Лейбниц доказал, что сумма 1 +1/2+1/3...+1/n бесконечно возрастает, когда n неограниченно растет. Это означает, что, гармо­нический ряд расходится. Но если перед членами ряда чередовать знаки ±, то получится

сходящийся ряд 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6 + . . . , сумма которого равна натуральному

логарифму In2=0,6993...

Пусть АС=а, ВС=b, АВ=а+b — диаметр окружности; ОЕ^АВ, DC^AB. Тогда

ОЕ=(a+b)2, CD=Цab.

Для изобра­жения среднего гармонического проведем допол­нительно OD и CF^OD. Тогда вы легко докажетe, что DF=2ab/(a+b),

а также, что C'D2=ODDF. Тем самым дополнитель­но будет установ­лено любопытное соотношение меж­ду тремя «средними»: среднее геометрическое двух положительных чисел является средним геометри­ческим между их средним арифметическим и сред­ним гармоническим.

451

Как удлинялся «хвост» у числа p = 3,14159265...

Вавилоняне (2-е тысячелетие до н. э.) удовлетворялись значением p»3.

Египтяне (2-е тысячелетие до н. э.) считали, что p~+3,16.

Архимед (III в. до н. э.) предлагал на выбор: 310/71< p< 31/7.

С очень хорошей точностью подоб­рался к числу те китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в.):

p»355/113= 3,1415929...

Лудольф (XVII в.) имел терпение выявить 35 десятичных знаков после запятой у числа те.

С XVII в. те вычисляют с помощью числовых рядов. Так было получено:

в 1699 г. 72 десятичных знака,

в 1719 г. 127 десятичных знаков,

в 1841 г. 208 десятичных знаков,

в 1853 г. 261 десятичный знак.

На 20 лет (с 1853 по 1873 г.) растянулось у Вильяма Шенкса вычис­ление 707 десятичных знаков числа те.

В 1947 г. «хвост» числа те вырос до 808 правильных десятичных зна­ков.

Не прошли мимо числа p и элект­ронные вычислители. С их помощью было найдено:

в июне 1949 г. 1120 десятич­ных знаков,

в сентябре 1949 г.—2037 десятич­ных знаков (за 70 часов действия ма­шины),

в январе 1955 г.—3093 десятичных знака (только за 13 минут),

в январе 1958 г. —10 000 десятич­ных знаков (за 100 минут).

В июле 1961 г. Д. Шенкс и Дж. Вренч запрограммировали задание электронной машине: вычислить 100 265 десятичных знаков числа p. И электронный вычислитель блестя­ще справился с задачей за 8 часов

43 минуты (параллельно та же маши­на «выдала» столько же цифр и для второй «трансцендентной знамени­тости» — числа е).

Исследовав первые 16 000 десятич­ных знаков числа те, ученые не обнару­жили «ненормальностей» в распреде­лении мест, занимаемых каждой из 10 цифр. В этом «хвосте» любая цифра (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0) занимает примерно 10% мест от общего числа знаков.

НАУКА О СЛУЧАЙНОМ

Обыденные представления

Наша повседневная речь широко использует слово «случай» и его производные — «случай­ность», «случайный» и т. п. Каждый из нас слышал и сам произносил фразы, подобные следующим: «Я случайно натолкнулся на ин­тересную мысль», «Только случай помог мне сегодня», «Что за приятная случайность по­могла нам встретиться». Всякий раз при упот­реблении подобных выражений в них вклады­вается один и тот же смысл: случайные события происходят крайне редко, представляют собой нечто совершенно исключительное, идущее вразрез с установившимся порядком вещей. В обыденном представлении случайное проти­вопоставляется закономерности, является чем-то, что нарушает закономерный ход событий, нормальное их развитие.

Но так ли это на самом деле? Не упрощаем ли мы такими представлениями действитель­ность? Не лишаем ли мы себя существенных возможностей в познании явлений природы, а также процессов техники и экономики, когда считаем, что в мире господствует лишь строгая закономерность определенного типа — каждая определенная ситуация влечет за собой опре­деленные следствия?

Мы сейчас на ряде примеров, заимствован­ных из окружающей жизни, убедимся в том, что множество важнейших явлений существенно зависит от случая и без учета влияния случай­ного не может быть полноценного их иссле­дования. Мы увидим, что без учета влияния случайных явления человек становится бес­сильным направлять развитие интересующих его процессов в желательном для него направ­лении. Мы узнаем далее, что случайные собы­тия также подчинены своим особым законо­мерностям. Изучение этих закономерностей — задача науки о случайном — теории вероятностей.

452