Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

тогда, что в рассматриваемой группе преобра­зований «таблица умножения» имеет вид:

Сразу бросается в глаза, что написанные «таб­лицы умножения» совершенно одинаковы. Итак, различные группы преобразований могут ока­заться совершенно одинаково устроенными, т. е. иметь одинаковое число элементов и оди­наковую таблицу умножения. Для решения многих вопросов, относящихся к группам пре­образований, совершенно неважно знать, что именно преобразуется, а существенно лишь, сколько имеется различных преобразований в группе и как они перемножаются.

Отто Юльевич Шмидт.

Изучением групп с этой точки зрения зани­мается так называемая абстрактная теория групп. В этой теории рассмат­ривают множества G, состоящие из каких угодно элементов (не обязательно преобразо­ваний), для которых определено каким-то об­разом умножение, обладающее следующими свойствами:

1. Произведение ab двух элементов из G принадлежит G.

2. Существует элемент е (единичный), обла­дающий тем свойством, что для всех элементов а из G выполняется равенство ае=а.

3. Для любого элемента а есть обратный ему элемент а-1, т. е. такой, что аа-1=е.

4. Для любых трех элементов а, b, с выпол­нено равенство а(bс)=(аb)с.

Заметим, что последнее равенство, выража­ющее ассоциативность умножения, всегда вы­полняется для преобразований.

Множество G с указанными свойствами на­зывается группой. Первая в России книга по теории групп вышла в 1916 г. и принадлежит перу О. Ю. Шмидта.

Значение абстрактной теории групп состоит в том, что теоремы и понятия этой теории могут применяться и к группам геометрических пре­образований, и к группам алгебраических пре­образований, и к изучению атомов и кристал­лов и т. п.

Заключение

Мы рассмотрели различные вопросы, изу­чаемые в алгебре. Все эти вопросы объединя­ются одним общим направлением — изучением общих свойств действий и преобразований. Ал­гебра и дает аппарат изучения этих свойств. Законы действий (т. е. аксиомы, которым они подчиняются) могут быть совершенно различ­ными, в зависимости от поставленной задачи. В соответствии с этим получаются группы, кольца, поля и т. п.

В современной алгебре рассматриваются и другие объекты, подчиненные совсем иным аксиомам (алгебры Ли, альтернативные алгеб­ры, полугруппы и т. д.). Не следует думать, однако, что работа алгебраиста заключается в выписывании новых, произвольно взятых аксиом и выяснении их следствий. Как пра­вило, интересные алгебраические объекты полу­чаются не таким путем. Интересные объекты возникают при рассмотрении глубоких задач геометрии, физики, математического анализа, логики и самой алгебры. При изучении этих задач исследователь, отбрасывая второстепен­ное и несущественное, выделяет важное и основ­ное и формулирует общие свойства различных объектов в виде аксиом. Таким образом, и в алгебре аксиомы имеют опытное происхожде­ние (хотя это и не всегда может быть непосред­ственно замечено).