Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Задачей такой геометрии, как и обычной геометрии, является нахождение таких свойств «фигур» (т. е. алгебраических выражений), которые сохраняются при всех преобразовани­ях данной группы. В частности, весьма инте­ресно нахождение и изучение «симметричных фигур» для данной группы, т. е. алгебраиче­ских выражений, которые не изменяются при преобразованиях данной группы. Например, если рассматривать группу всех перемен зна­ков, то «симметричными фигурами» будут чет­ные выражения, т. е. такие, у которых пока­затели всех степеней переменных четны (напри-

мер, х24, х2+5-x8y6, (x2-y2)/x4+y4) и т. д.)

Для группы всех перестановок переменных «симметричными фигурами» будут такие выра­жения, которые не меняются ни при каких перестановках переменных. Они называются симметрическими функциями. На­пример, симметрическими многочленами от двух переменных х, у являются:

x2y2-x4-y4, х2+ху+y2, х5+y5, ху33у.

В такой геометрии есть и свои теоремы. Например, можно доказать, что любой сим­метрический многочлен от х и у выражается через два простейших многочлена х+у и ху. Например:

х55=+y)5-5(х+у)3ху+5(х+у)(ху)2.

Эту теорему можно применять при решении систем уравнений. Если оба уравнения системы двух уравнений с двумя неизвестными симмет­ричны относительно х и y, то бывает полезно ввести новые неизвестные: u=х+у, v=ху. Как правило, после этого заданная система уравнений упрощается. Например, система уравнений

при такой замене сводится к системе

Из этой системы легко найти u и v, а по­том x и y.

Любопытно, что теория групп первоначаль­но и возникла при рассмотрении групп алгеб­раических преобразований Чтобы узнать, ре­шается ли данное алгебраическое уравнение

хn1хп-1+ ...+аn=0 (4)

в радикалах, алгебраисты стали рассматривать значения, которые принимают многочлены от n переменных, если в них вместо x1; x2, ..., хn подставить корни a1, a2, ..., an уравнения (4). Оказалось, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с по­ведением этих значений многочленов при различных перестановках корней между собой.

Эти исследования привели к созданию новой, очень глубокой и важной ветви алгеб­ры — применению теории групп к исследова­нию уравнений. Основоположные результаты этой теории были получены в 1830—1832 гг. французским математиком Э. Галуа. В его честь весь этот раздел алгебры носит сейчас назва­ние теории Галуа.

Абстрактная теория групп

Рассмотрим следующие две группы преоб­разований. Первой из них является группа симметрии ромба, второй — группа перемен знаков переменных х и у. Обозначим тожде­ственное преобразование ромба через е, сим­метрии относительно диагоналей — через а и b и центральную симметрию — через с. Про­верьте, что «таблица умножения» в этой группе имеет следующий вид:

Теперь обратимся к группе перемен знаков у переменных х и у. Здесь мы также обозна­чим тождественное преобразование х®х, у®у через е. Изменение знака у одного только х (т. е. преобразование х®-х, у®у) обозначим через а, а изменение знака у одного толь­ко у — через b. Наконец, преобразование х®-x, у®(изменение знаков у обоих пере­менных) обозначим через с. Легко проверяется

425