если преобразования a и b переводят фигуру F в себя, то и их произведение a•b преобразует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тождественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования. Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрии этой фигуры.
Чем шире группа симметрии данной фигуры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 6. Интересные примеры симметричных фигур, обладающих самыми разными типами симметрии, дают узоры (см. цветную вклейку на стр. 396—397).
Если фигура переходит сама в себя при
(360°•k)/n всех поворотах на углы вида , где
k — целое, а n — фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п. Такой симметрией обладает, например, правильный n-угольник.
Бывают фигуры, у которых группа симметрии бесконечна. Примерами могут служить окружность, кольцо, а также фигуры, изображенные на стр. 424—425 (эти фигуры надо представлять себе простирающимися в бесконечность).
Разумеется, о группе симметрии можно говорить не только для плоских, но и для пространственных фигур. При этом обычно рассматривают только движения пространства, не являющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движениями пространственных тел как твердого целого). Так, можно говорить о группе симметрии правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, правильной n-угольной призмы и т. д. Предоставляем читателю убедиться, что группа симметрии куба состоит из 24 элементов, а для правильной n-угольной призмы из 2n элементов.
Используя группу симметрии куба, легко решить интересную задачу о раскраске куба. Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, желтая, красная, коричневая и черная. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 граней куба этими красками так, чтобы все грани имели различный цвет?
Для решения занумеруем грани куба. Тогда
первую грань можно раскрасить б различными способами. Если выбрана окраска первой грани, то для второй грани остается 5 цветов. Всего первые две грани можно раскрасить 6•5=30 способами. Точно так же видно, что первые три грани можно окрасить 6•5•4=120 способами, а весь куб — 6•5•4•3•2•1=720 способами.
А теперь выясним, сколько из этих способов геометрически различны. Именно, назовем две окраски куба геометрически совпадающими, если одна получается из другой движением куба как твердого тела. Так как группа симметрии куба состоит из 24 элементов, то число окрасок, геометрически совпадающих с данной (включая ее саму), равно 24. Следовательно, число геометрически различных окрасок куба в 24 раза меньше, чем общее число окрасок, т. е. 720:24=30.
Симметрией обладают не только геометрические фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (бабочки, стрекозы, листья, морские звезды, снежинки и т. д.). Особенно разнообразны свойства симметрии кристаллов. На стр. 424—425 показаны некоторые виды кристаллов. Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, переводящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристаллографам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе.
Следует, однако, заметить, что многообразие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода
423