если преобразования a и b переводят фигуру F в себя, то и их произведение a•b преобра­зует ее в себя. Не изменит ее, конечно, и тож­дественное преобразование. То же самое верно и для обратного преобразования. Группу всех движений, переводящих фигуру F самое в себя, называют группой симметрии этой фигуры.

Чем шире группа симметрии данной фигу­ры, тем более симметричной она является. Именно поэтому квадрат является наиболее симметричной из всех фигур, изображенных на рис. 6. Интересные примеры симметрич­ных фигур, обладающих самыми разными ти­пами симметрии, дают узоры (см. цветную вклей­ку на стр. 396—397).

Если фигура переходит сама в себя при

(360°•k)/n всех поворотах на углы вида , где

k — целое, а n — фиксировано, то говорят, что она обладает симметрией порядка п. Такой симметрией обладает, например, правильный n-угольник.

Бывают фигуры, у которых группа симметрии бесконечна. Примерами могут служить окруж­ность, кольцо, а также фигуры, изображен­ные на стр. 424—425 (эти фигуры надо представлять себе простирающимися в бес­конечность).

Разумеется, о группе симметрии можно го­ворить не только для плоских, но и для прост­ранственных фигур. При этом обычно рассмат­ривают только движения пространства, не явля­ющиеся симметриями относительно плоскостей (их нельзя осуществить в пространстве движе­ниями пространственных тел как твердого це­лого). Так, можно говорить о группе симметрии правильного тетраэдра, куба, икосаэдра, пра­вильной n-угольной призмы и т. д. Предостав­ляем читателю убедиться, что группа симмет­рии куба состоит из 24 элементов, а для пра­вильной n-угольной призмы из 2n элементов.

Задача о раскраске куба

Используя группу симметрии куба, легко решить интересную задачу о раскраске куба. Пусть дан куб и 6 красок: синяя, зеленая, жел­тая, красная, коричневая и черная. Сколькими различными способами можно раскрасить 6 гра­ней куба этими красками так, чтобы все грани имели различный цвет?

Для решения занумеруем грани куба. Тогда

первую грань можно раскрасить б различными способами. Если выбрана окраска первой гра­ни, то для второй грани остается 5 цветов. Всего первые две грани можно раскрасить 6•5=30 способами. Точно так же видно, что первые три грани можно окрасить 6•5•4=120 способами, а весь куб — 6•5•4•3•2•1=720 способами.

А теперь выясним, сколько из этих спосо­бов геометрически различны. Именно, назовем две окраски куба геометрически сов­падающими, если одна получается из другой движением куба как твердого тела. Так как группа симметрии куба состоит из 24 эле­ментов, то число окрасок, геометрически совпа­дающих с данной (включая ее саму), равно 24. Следовательно, число геометрически различ­ных окрасок куба в 24 раза меньше, чем общее число окрасок, т. е. 720:24=30.

Симметрия в природе

Симметрией обладают не только геометри­ческие фигуры или вещи, сделанные рукой человека, но и многие творения природы (ба­бочки, стрекозы, листья, морские звезды, сне­жинки и т. д.). Особенно разнообразны свой­ства симметрии кристаллов. На стр. 424—425 показаны некоторые виды кристаллов. Одни из них более симметричны, другие — менее. Долгое время ученые-кристаллографы не могли описать всех видов симметрии кристаллов. Решил эту задачу в 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров. Он доказал, что есть ровно 230 групп, перево­дящих в себя кристаллические решетки. Это открытие значительно облегчило кристалло­графам изучение видов кристаллов, которые могут существовать в природе.

Следует, однако, заметить, что многообра­зие кристаллов в природе настолько велико, что даже использование группового подхода

423