Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Разные геометрии

До того времени, пока математики не по­няли, что равенство геометрических фигур мож­но определять при помощи различных групп геометрических преобразований, казалось, что существует только одна геометрия, а имен­но та, которую изучают в школе. Первый удар этому мнению нанес Н. И. Лобачевский, который построил новую геометрию, совсем не, похожую на обычную (см. статью «О раз­личных геометриях»). Истинную причину раз­личия геометрии Лобачевского и геометрии Евклида впервые глубоко осветил немецкий математик Ф. Клейн. Он показал, что все дело в различии групп преобразова­ний, используемых в этих геометриях для определения равенства фигур: в геометрии Ев­клида для этого используется группа обычных движений, а в геометрии Лобачевского совер­шенно другая группа преобразований (их на­зывают гиперболическими дви­жениями плоскости).

Вообще, каждая группа преобразований плоскости определяет свое понятие равенства, а значит, и свою геометрию, В геометрии, соот­ветствующей некоторой группе преобразова­ний, изучаются лишь свойства, одинаковые у всех фигур, равных относительно этой груп­пы. Иными словами, изучаются те геометриче­ские свойства фигур, которые сохраняются при всех преобразованиях рассматриваемой груп­пы. Эту точку зрения на геометрию впервые четко сформулировал Ф. Клейн в 1872 г. на лекции в г. Эрлангене. С тех пор такой под­ход к пониманию геометрии получил название эрлангенской программы.

Теоремы школьной геометрии тоже факти­чески относятся к различным геометриям. Одни из них касаются свойств фигур, не меняющихся при движениях, а другие — более глубоких свойств, не меняющихся при любых аффинных преобразованиях и даже любых проективных преобразованиях (см. подробнее об этом статью «Геометрические преобразования»).

Группы симметрии

Посмотрите на геометрические фигуры, изоб­раженные на рис. 6. Фигуру А на этом рисунке никак нельзя назвать симметричной. Фигуры В и С уже обладают некоторой симметрией, Более симметрична фигура D, и, конечно, самой симметричной из всех начерченных фигур является квадрат. Однако это только слова — сим­метричность не длина и не площадь, а потому понятия «больше» и «меньше» для оценки симметричности пока точного смысла не имеют.

Как же можно оценить большую или мень­шую симметричность фигуры? Для этого надо рассмотреть множество всех движений плоско­сти, которые переводят рассматриваемую фи­гуру самое в себя. Для фигуры А на рис. 6 единственным таким движением является тож­дественное преобразование. Для фигур В и С, кроме тождественного преобразования, есть еще по одному движению, переводящему их в себя. Именно, для равнобочной трапеции — осевая симметрия (относительно прямой, соединяющей середины оснований), для параллелограмма — центральная симметрия. Для ромба D есть уже 4 движения, совмещающих его с самим собой: тождественное преобразование, две осевые симметрии относительно диагоналей и цент­ральная симметрия. Наконец, для квадрата таких преобразований 8 (4 осевые симметрии

относительно средних линий и диагоналей и 4 вращения на углы 0°, 90°, 180° и 270°).

Ясно, что совокупность всех движений, переводящих заданную геометрическую фигуру самое в себя, образует группу. В самом деле,

422