Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

на рис. 4 нельзя перевести в окружность S2 движением. Для этого надо применить более общее преобразование подобия. Существуют и такие случаи, когда целесообразно считать равными фигуры, переводимые друг в друга аффинными преобразованиями, проективными и т. д. (см. об этом подробнее в статье «Геомет­рические преобразования»).

Поэтому можно дать такое определение равенства геометрических фигур. Пусть имеет­ся некоторое множество геометрических пре­образований G. Фигура F1 называется равной фигуре F2 относительно этого множества пре-

образований, если есть преобразование a из G, переводящее F1 в F2. Например, если множество G состоит из параллельных переносов, то фи­гуры F1 и F2 на рис. 5 равны, а фигуры F1 и F3 не равны. Если же множество G состоит из пово­ротов вокруг точки О, то равными окажутся фигуры Р1 и F3, а неравными — F1 и F2. На­конец, если взять множество всех движений

плоскости, то относительно него все три фигуры равны.

Ясно, что чем больше преобразований содержит множество G, тем большее число фигур окажется равным относительно этого множества преобразований.

Группы геометрических преобразований

Не всякое множество G геометрических преобразований пригодно для определения ра­венства фигур. Ведь может случиться, что в множестве G отсутствует преобразование, оставляющее какую-то фигуру F неизменной. Тогда окажется, что эта фигура не равна самой себе. Конечно, такое определение равенства никуда не годилось бы. Поэтому потребуем, чтобы среди преобразований множества G было тождественное преобразование е, т. е. такое, при котором все фигуры остаются неизмен­ными. Тогда любая фигура будет равна самой себе относительно этого множества.

Но существования тождественного преобра­зования еще мало. Может случиться, что в множестве G есть преобразование, переводя­щее фигуру F1 в фигуру F2, есть и преобра­зование, переводящее фигуру F2 в фигуру F3, но нет преобразования, переводящего F1 пря­мо в F3. Тогда получится, что F1=F2, F2=F3, но F1F3

Чтобы избежать этой неприятности, введем следующее условие: вместе с любыми двумя преобразованиями a и b в множество G вхо­дит и их произведение ар.

Наконец, надо, чтобы из равенства F1=F2 вытекало равенство F2=F1. Иными сло­вами, надо, чтобы вместе с преобразованием, переводящим фигуру F1 в фигуру F2, мно­жество G содержало и преобразование, пе­реводящее F2 в F1. Для этого достаточно, чтобы вместе с преобразованием а множе­ство G содержало и обратное ему преобразо­вание a-1.

Подведем итоги. Для того чтобы равенство геометрических фигур, определенное с помощью множества преобразований G, обладало «хоро­шими» свойствами, нужно следующее: 1) мно­жество G должно содержать тождественное преобразование; 2) вместе с двумя преобра­зованиями a и b в G должно входить их произведение ab; 3) вместе с каждым пре­образованием а множество G должно содер­жать обратное к нему преобразование a-1.

Множество преобразований, для которого выполнены эти три условия, называют груп­пой геометрических преоб­разований.

Таким образом, для того чтобы с помо­щью множества G геометрических преобразо­ваний можно было определить понятие ра­венства геометрических фигур, надо, чтобы это множество было группой.

421