Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Преобразования можно не только умножать, но и делить друг на друга. Для чисел деление сводится к умножению на обратное число, на-

пример: 2:5=2•1/2=2•5-1. И для преобразований деление сводится к умножению на обратное преобразование. Это преобразование определяют следующим об­разом.

Пусть преобразование а переводит точку Р в точку Q. Тогда обратное ему преобразование a-1 переводит Q обратно в точку Р. Например, если a — сдвиг вправо на отрезок а, то a-1 сдвиг влево на тот же отрезок а.

Ясно, что если сначала сделать преоб­разование a, а потом преобразование a-1, то в результате все точки вернутся на свои места и получится тождественное преобразо­вание. Поэтому a•a-1=е. Точно так же a-1•a=е.

Теперь ясно, как можно делить преобра­зования. Только, в отличие от чисел, для пре­образований есть два вида деления — сле­ва и справа. Если разделить преобразо­вание а слева на b, то получится b-1a, если справа — то ab-1.

Зачем же нужно умножать преобразования? Чтобы разобраться в этом, разберемся в поня­тии равенства геометрических фигур.

Что такое равные фигуры

В статье «Геометрические преобразования» рассказано, что две геометрические фигуры называются равными, если существует дви­жение, при помощи которого можно совмес­тить одну фигуру с другой. Геометрические свойства равных фигур совершенно одинаковы. Поэтому можно сказать, что геометрия изучает

Рис. 3.

только те свойства фигур, которые не меняются при движениях.

Однако это определение не всегда удовлет­ворительно. Например, при изучении векторов (а теория векторов — это часть геометрии) два вектора считают равными, если не только их длины одинаковы, но и векторы параллельны и одинаково направлены. Поэтому, например,

векторы ОА® и ОB® (рис. 2) не считаются рав­ными, хотя один из них получается из другого

поворотом вокруг точки О. А векторы ОА® и CD® на том же рисунке равны друг другу. Чтобы

получить вектор CD® из вектора ОА®, надо сде­лать параллельный перенос плос­кости на вектор ОС®.

Таким образом, два вектора называются равными, если один получается из другого с помощью параллельного переноса. Можно сказать, что векторная алгебра изучает свой­ства, остающиеся неизменными при параллель­ных переносах.

В других случаях приходится изучать свой­ства фигур, остающиеся неизменными лишь при поворотах вокруг некоторой точки. Если, например, инженеру надо рассчитать турбину (рис. 3), то для него все лопатки турбины равно­правны — одна получается из другой поворо­том вокруг оси турбины. А сместить лопатку вдоль радиуса нельзя — при этом изменится центробежная сила и весь расчет окажется неверным.

Точно так же две фигуры на сфере надо считать равными, если одна получается из дру­гой поворотом вокруг центра сферы.

Можно привести и такие случаи, когда целе­сообразно считать равными геометрические фигуры, не являющиеся таковыми с обычной точки зрения. Например, при изучении угло­вых свойств окружности можно полностью от­влечься от ее размеров. Тогда все окружности будут для нас одинаковыми. Но окружность S1

420