Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

квадратичной иррациональностью, но даже не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (такие числа называют неалгебраическими или тран­сцендентными).

 

ГРУППЫ

Умножение геометрических преобразований

О том, что такое геометрические преобра­зования и как они применяются для решения задач, было подробно рассказано в статье «Гео­метрические преобразования». На первый взгляд может показаться, что эта область мате­матики относится целиком к геометрии, а ал­гебраистам там делать нечего. Но это не так; оказывается, геометрические преобразования можно умножать, а ведь алгебра изучает свойства самых различных действий, в том числе и умножения преобразований.

Как же умножить геометрическое преобра­зование а на геометрическое преобразование b? А очень просто — сначала сделать преобразо­вание а, а потом р. В результате получится новое преобразование. Его называют про­изведением преобразований a и b и обо­значают ар„ Пусть, например, a — поворот плос­кости вокруг точки О на 30°, а b — поворот вокруг той же точки на 45°. Сделав эти пово­роты один за другим, получим поворот плос­кости вокруг точки О на 75°. Этот поворот и является произведением поворотов a и b.

Умножение преобразований похоже по своим свойствам на умножение чисел. Напри-

мер, для умножения преобразований верен ассоциативный закон:

a(bg)=(ab)g

(и a(bg), и (ab)g сводятся к последовательному применению преобразований a, b, g). Есть и преобразование, играющее роль единицы, т. е. такое, что для любого преобразования a верна формула a•е=е•a=a. Им является тождественное преобразование е, оставляющее все точки на месте. Ясно, что если сначала сде­лать преобразование е, т. е. оставить все неиз­менным, а потом преобразование а, то это все равно что сделать только преобразование а. Поэтому е•a=a. Точно так же доказывается, что a•е=a.

— А нужно ли доказывать последнее равен­ство?— спросит читатель. — Ведь уже доказано, что е•a=a, а от перестановки сомножителей произведение не меняется. Вспомните, однако, что при умножении кватернионов пере­ставлять слагаемые нельзя. Оказывается, их нельзя переставлять и при умножении преоб­разований. Вот простой пример.

Пусть а — сдвиг вдоль оси Ох на 6 единиц, а b—поворот на 90° вокруг точки О. При преобра­зовании а начало координат перейдет в точку А(6; 0). При преобразовании b (т. е. при пово­роте на 90°) точка А перейдет в точку 5(0; 6). Таким образом, преобразование a•b переводит точку О в точку В. Произведем теперь те же преобразования в обратном порядке. При пово­роте а точка О останется на месте. При сдвиге же b точка О перейдет в точку А. Значит, b•a пере­водит О в точку А, а не в точку В. Мы видим, что a•b№b•a.

Итак, умножение преобразований не обла­дает свойством коммутативности. Выполнение равенства ab=ba является для преобразо­ваний не правилом, а исключением. Одно из таких исключений дается формулой: aе=еa.

419