Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

А вот правильный девятиугольник постро­ить нельзя. Его построение сводится к делению угла в 120° на три равные части. По формулам тригонометрии:

cos3j=4cos3j-3cosj.

Положим здесь 3j=120°. Так как cos120°=1/2,

то для отыскания cosj получим кубическое уравнение:

4cos3j-3cosj+1/2=0,

или, полагая 2cosj=x, получим уравнение:

x3-3х+1=0. (3)

Было доказано, что если один из корней кубического уравнения с целыми коэффици­ентами является квадратичной иррациональ­ностью, то у него есть и рациональный корень. А легко доказать, что у уравнения (3) раци­ональных корней нет, значит, нет и корней, являющихся квадратичными иррациональностями. Поэтому и нельзя построить правиль­ный девятиугольник циркулем и линейкой. (Поскольку угол в 120° нельзя разделить цир­кулем и линейкой на три равные части, тем более нельзя указать метод деления циркулем и линейкой на три равные части для произ­вольного угла. Для некоторых углов, например 90°, эта задача разрешима.) Точно так же дока­зывается невозможность построения циркулем и линейкой правильного семиугольника.

Окончательное решение вопроса о постро­ении правильных многоугольников циркулем и линейкой дал в 1796 г. Гаусс. Он доказал,

что если р — простое число, то правильный р-угольник с данной стороной может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда число р можно записать в виде р=22n +1, где n — целое число. Напри­мер, при n=0 имеем р=3, а при n=1 име­ем р=5. Поэтому правильный треугольник и правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой. При n=2 получаем р=17. Значит, и правильный семнадцатиугольник строится циркулем и линейкой. Мож­но построить циркулем и линейкой даже правильные многоугольники с 257 и 65536 сторонами. А вот при n=5 число 22n+1 оказывается составным. Поэтому правильный (225+1)-угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

В древности математики потратили много сил на решение следующей задачи об удвое­нии куба: дан куб со стороной а; построить такой куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Подсчитаем, какой отрезок надо построить для решения этой задачи. Примем длину отрезка а за единицу, а длину ребра иско­мого куба обозначим через х. Тогда объем дан­ного куба будет равен единице, а объем иско­мого куба — двум. По условию задачи должно быть: х3=2. Это уравнение не имеет рациональ­ных корней. Поэтому по упомянутой выше теореме у него нет и корней, являющихся квад­ратичными иррациональностями. Значит, ре­шить задачу удвоения куба циркулем и ли­нейкой невозможно.

Гораздо труднее было доказать, что невоз­можно построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий кругу радиуса 1 (задача о квадратуре круга). Это доказа­тельство было проведено неалгебраи­ческими методами. Было доказано, что сторона такого квадрата не только не является

418