Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

дет математический гений, который решит за­дачу.

Гений действительно пришел, им был моло­дой норвежский математик Н. Абель. Однако вместо желанной формулы он дал отрицатель­ный ответ — решения задачи не существует. Впрочем, сначала Абель ошибся (и гении делают

Нильс Генрик Абель.

ошибки!). Ему показалось, что он нашел фор­мулу, дающую решение уравнения пятой сте­пени в радикалах. Но потом он увидел ошибку, проанализировал свои рассуждения и в резуль­тате получил замечательный вывод: не только неверна выведенная им формула, но и вообще не существует общей формулы, выражающей корни любого уравнения пятой степени через коэффициенты этого уравнения с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.

Циркуль и линейка

На развитие теории уравнений сильное вли­яние оказали задачи о построениях циркулем и линейкой, в особенности задачи о построении правильных многоугольников. Из школьного курса известно, как строить циркулем и ли­нейкой правильный треугольник, квадрат и шестиугольник. В более подробных курсах рассказано о построении правильного пяти­угольника. А вот о построении правильного семиугольника или девятиугольника ничего

не говорится. И это не случайно: ни правиль­ный семиугольник, ни правильный девятиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Как же это узнали? Ведь доказать разре­шимость задачи сравнительно легко — доста­точно указать путь ее решения. Доказать же, что задачу нельзя решить, очень трудно. Путей решения задачи бесконечно много (мало ли какие построения можно придумать!), и дока­зать, что ни один из них не приведет к цели, на первый взгляд невозможно.

Однако математики справились с этой за­дачей. Для этого они сначала исследовали во­прос, какие отрезки можно построить цир­кулем и линейкой исходя из одного заданного отрезка (в случае построения правильного многоугольника заданным является радиус описанной окружности или сторона искомого правильного многоугольника).

Чтобы ответить на этот вопрос, пришлось ввести понятие квадратичной ирра­циональности. Так назвали числа, которые получаются из единицы с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Вот для при­мера некоторые числа, являющиеся квадратич­ными иррациональностями:

Все квадратичные иррациональности, вместе взятые, образуют числовое поле, при­чем в этом поле всегда выполнима операция извлечения квадратного корня из положитель­ного числа.

Было доказано, что если задан отрезок а, длина которого принимается за единицу, то циркулем и линейкой можно построить любые отрезки, длины которых являются квадратич­ными иррациональностями, и только эти от­резки.

Например, для построения правильного пя­тиугольника с данной стороной достаточно по­строить его диагональ (тогда все вершины можно будет найти с помощью засечек окружности). Расчеты показывают, что если сторона пяти­угольника равна 1, то его диагональ имеет длину

(Ц5+1)/2 . Так как это число является квадра­тичной иррациональностью, то построение пра­вильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки возможно.

417