Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

и корень а принадлежат полю Р, то тому же полю принадлежат и коэффициенты многочлена р(х), ведь при делении многочленов «стол­биком» мы выполняем над их коэффициентами лишь четыре арифметических действия. Осо­бенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой сте­пени:

(х-а1)(х-a2) ... (x-an)=0.

В этом случае ясно, что корнями будут числа a1, а2,..., аn, а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел a1, a2,..., an, то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается).

Верно и обратное: если мы знаем n корней al, а2,...,аn многочлена

f(х)=а0хn+а1хn-1+ ...n,

то он следующим образом разлагается на мно­жители:

f(х)=а0 (х-a1)(х-а2)...(х-аn).

Из сказанного ясно, что никакое уравнение n-й степени не может иметь больше, чем n кор­ней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое урав­нение», какими должны быть его коэффици­енты. Неясно и то, какие корни мы будем рас­сматривать.

Основная теорема алгебры многочленов

Мы видели, что чем богаче элементами поле Р, тем больше возможностей разложить над ним заданный многочлен f(x) на множители. На­пример, многочлен х4-2 совсем не разлагается над полем рациональных чисел, но разлагает­ся на три множителя над полем действи­тельных чисел:

Однако расширение поля влечет за собой и расширение множества многочленов, Которые надо разлагать. Ведь если допустить в качестве коэффициентов не только рациональные, но и действительные числа, то придется разлагать не только такие многочлены, как x4-2, но

и такие, как х4-Ц2, и даже такие, как х4-p. А если допустить комплексные числа, то при­дется рассматривать и многочлены вида х4+i.

К счастью, оказалось, что выигрыш от рас­ширения поля больше, чем проигрыш, — над полем комплексных чисел любой многочлен (не только с рациональными, но и с любыми комплексными коэффициентами) разлагается до конца, т. е. на множители первой степени. А это означает, что всякое уравнение n-й сте­пени с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней. Эту теорему называют основной теоремой алгебры

многочленов. Ее доказал К. Гаусс в 1799 г.

Сложнее обстоит дело с разложением мно­гочлена над полем действительных чисел. Как мы видели, над этим полем многочлен x2+6x+10 не разлагается на множители первой степени. Однако любой многочлен с дей­ствительными коэффициентами, степень кото­рого больше двух, всегда разлагается на мно­жители с коэффициентами того же вида. Поэто­му всякий многочлен с действительными коэф­фициентами разлагается над полем действи­тельных чисел на множители первой и второй степеней.

 

 

Решение уравнений в радикалах

Основная теорема алгебры дает только уверен­ность в том, что у каждого алгебраического урав­нения есть корни. (Теоремы такого типа называют в математике теоремами существо­вания.) Однако она ничего не говорит о том, как эти корни искать. Иными словами, вопрос о том, как решить данное уравнение, остается открытым и после доказательства основной теоремы.

Издавна люди занимались решением урав­нений. При этом старались выразить корни уравнения через коэффициенты с помощью четырех арифметических действий и извлечения корней. Это удалось сделать для квадратных уравнений, а впоследствии и для уравнений третьей и четвертой степеней (см. статью «Как люди учились решать уравнения»).

Многие годы усилия математиков были на­правлены на то, чтобы найти решение в радика­лах (т. е. с помощью этих же пяти действий) для любого уравнения пятой степени. Все эти попытки к успеху не привели. Долгое время думали, что дело в недостаточной изобрета­тельности математиков и что когда-нибудь при-

416