Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

за многочлен х2+6х+10, то даже приме­нение иррациональных чисел ему не помогло. При решении квадратного уравнения х2+6х+10=0 появились квадратные корни из отри­цательных чисел, а про такие корни он еще ничего не знал.

Лишь в десятом классе Вася научился раз­лагать и такие многочлены — учитель расска­зал о комплексных числах, после чего он смог решать все квадратные уравнения, а тем самым и разлагать на множители все квадратные трех­члены:

х2+6х+10=+3+i)(x+3-i).

Почему же в разных классах Вася по-раз­ному подходил к задаче о разложении много­члена, почему все больше расширялся класс многочленов, которые он мог разлагать на мно­жители? Ларчик открывается просто — задача о разложении на множители не очень точно по­ставлена. Надо еще указать, какими могут быть эти множители, какими числами должны быть их коэффициенты. В седьмом классе Вася знал только рациональные числа. Поэтому он раз­лагал лишь на множители с рациональными коэффициентами. В восьмом классе он узнал иррациональные числа. Теперь он уже мог пользоваться и множителями с любыми дейст­вительными коэффициентами. Полное благопо­лучие наступило в десятом классе, когда Вася стал встречаться с многочленами, коэффициенты которых комплексные. Таким образом, не­достаточно сказать: «Разложите многочлен f(x)= а0хn+а1хn-1 ...+аn на множите­ли». Надо еще сказать, какому полю должны принадлежать коэффициенты этих множителей.

Если все коэффициенты многочлена f(x) принадлежат числовому полю Р, то говорят, что f(x) является многочленом над полем Р. Например, х2+6x+10 является многочленом над полем рациональных чисел, х2+2х+p — над полем действительных чисел, а многочлен х2+ix+3-i — над полем комплексных чисел.

Разумеется, если поле Р является частью поля P1 (или, как говорят математики, его подполем), то любой многочлен над полем Р может рассматриваться и как многочлен над полем Р1. Ведь его коэффициенты принад­лежат полю Р, а значит, и полю Р1. Такой под­ход бывает удобен при разложении многочле­нов на множители. Например, можно говорить о разложении многочлена x2+6х+10 над полем комплексных чисел.

Разложение многочленов на множители похоже по своим свойствам на разложение це­лых чисел. Только вместо простых чисел надо брать так называемые неприводимые многочлены — те, которые нельзя пред­ставить в виде произведения двух многочленов меньшей степени (над заданным полем). Дели­телями единицы являются только многочлены нулевой степени, т. е. отличные от нуля чис­ла. Как и для целых чисел, здесь каждый мно­гочлен единственным образом разлагается в произведение неприводимых множителей. Разу­меется, такие два разложения, как

х2+3х+2=(х+1)(х+2)=(2х+2)(1/2х+1),

отличающиеся лишь делителями единицы, счи­таются одинаковыми.

Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Зачем же надо разлагать многочлены на мно­жители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями, Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение:

х5+2х4-х-2=0.

Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим:

(х+2) 4-1)=0. или:

(x+2)(x-1)(x+l)(x2+l)=0.

А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при x1=-2, х2=1, х3 =-1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х2+1 при действительных х в нуль не обращается.

Вообще, если левая часть алгебраического уравнения f(x)=0 может быть записана в виде (х-а)р(х)=0, где р(х) — тоже многочлен, то х=а является одним из корней нашего урав­нения. Верно и обратное: если число а являет­ся корнем алгебраического уравнения f(x)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на х-а. При этом если коэффициенты многочлена f(x)

415