Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

рассматривать в множестве всех целых чисел? Оказывается, нет, надо только уточнить, что называется простым числом.

Заметим, что число -1 обладает следующим свойством: если разделить 1 на -1, то в част­ном получится целое число. Другим целым числом с таким же свойством является сама единица. Мы будем называть эти числа (1 и -1) делителями единицы.

Назовем целое число р простым, если оно не является делителем единицы, но в любом его разложении в произведение двух целых множителей один из сомножителей обязательно является делителем единицы. При таком опре­делении число 7 остается простым и после пере­хода к множеству всех целых чисел. Простым будет и число -7.

Сохраняет свою силу и основной закон арифметики, однако тоже с небольшим изме­нением формулировки: каждое целое число, от­личное от нуля, разлагается в произведение про­стых целых чисел; это разложение однозначно определено с точностью до перестановок со­множителей и возможного умножения неко­торых сомножителей на -1 (т. е. на делитель единицы). Например,

21 = 3•7=7•3= (-3)(-7)=(-7)(-3). Такие разложения принято считать неотли­чающимися друг от друга.

Удивительное разложение

При решении некоторых сложных вопросов теории чисел пришлось разлагать целые числа не только на целые множители, но и на множи­тели вида а+bЦ5 , где а и b — целые числа. Числа такого вида сами образуют кольцо. Для них, как и для целых чисел, можно определить понятия простого числа, делителя единицы и т. д. Например, число 2+Ц5 — делитель еди­ницы, так как(2+Ц5 )(-2+Ц5)=1. Вели­ко же было удивление математиков, когда оказалось, что в кольце чисел а+bЦ5 нару­шается основной закон арифметики о единствен­ности разложения на простые множители. На­пример,

Не однозначно разложение на простые мно­жители и в кольце чисел вида а+bЦ-5 , где

а и b — целые. В этом кольце единственными делителями единицы являются те же числа 1 и -1, что и в кольце целых чисел. Однако

21=3•7=(4+Ц-5)(4-Ц-5)=(1-2Ц-5)(1+2Ц-5).

А вот в кольце чисел вида a+bЦ3 и b—целые) имеются делители единицы, кроме 1 и -1, на­пример: (2+Ц3)(2-Ц3)=1. Но разложе­ние на множители в этом кольце однозначно (как всегда, с точностью до перестановки мно­жителей и умножения этих множителей на делители единицы).

В теории чисел полностью изучен вопрос, в каких кольцах вида a+bЦ±D имеет место однозначность разложения на простые множи­тели, а в каких нет. Мы не будем на этом оста­навливаться.

Разложение многочленов на множители

Разложение целых чисел на множители напоминает другой раздел элементарной мате­матики — разложение многочленов на множи­тели. Этот раздел очень нравился нашему зна­комому Васе Игнатьеву. Он умел разлагать на множители не только такие простые многочлены, как х2-4=(х-2)(х+2), но также спо­собом группировки мог разложить:

х2-3х+2=х2-х-2х+2=х(х-1)-2(х-1)=(х-1)(х-2).

Эти примеры он брал из различных задач­ников. Однако, когда он попытался сам при­думать пример и начал разлагать на множители многочлен х2+6х+4, у него ничего не вы­шло. Потом он сообразил, что даже многочлен х2-2 не разлагается на множители. Он за­бросил листок, на котором решал пример, и нашел его только через год, когда перешел в следующий класс. «Над чем же я думал! — воскликнул он, — ведь

x2-2=(х-Ц2)+Ц2), x2+6x+4=(х+3+Ц5)(х+3-Ц5)».

Вася думал, что, научившись решать квадратные уравнения, он сможет разлагать на множители любой квадратный трехчлен. Но радость его была преждевременной; когда он взялся

414