Чтобы изучать уравнения, пришлось огра­ничиться кольцами, в которых есть операция деления. Такие кольца математики назвали полями. Как в настоящем поле можно идти в любую сторону, не встречая никаких пре­пятствий, так в математическом поле можно беспрепятственно выполнять все арифметичес­кие действия. Впрочем, одно ограничение есть — на нуль в поле делить нельзя.

Читатель еще в шестом классе познакомился с одним полем — полем всех рациональных чисел (положительных и отрицательных). Поз­же он познакомился с другим, более широким полем — всех действительных чисел (как ра­циональных, так и иррациональных). Наконец, все комплексные числа тоже образуют поле.

Кроме этих трех полей (рациональных, действительных, комплексных чисел), есть еще много других полей, состоящих из чисел. Возь­мем, например, все числа вида а+bЦ3, где а и и b — рациональные числа. В это множество чисел входит, например, Ц3=0+1•Ц3, но не входит Ц5. Покажем, что это множество чисел образует поле.

В самом деле, возьмем два числа: а+bЦ3, с+dЦ3 из нашего множества. Их сумма имеет вид:

(а+bЦ3)+(с+dЦ3)=(а+с)+(b+d) Ц3.

Так как а+с и b+d — рациональные числа, то число (а+bЦ3)+(c+dЦ3) также принадле­жит нашему множеству. Точно так же из ра­венств:

(а+bЦ3) (с+dЦ3)=ас+adЦ3+bсЦ3+3bd=(ас+3bd)+(ad+bc) Ц3

следует, что произведение двух чисел рассмат­риваемого множества снова принадлежит ему. Сложнее обстоит дело с частным. Возьмем

число (a+bЦ3)/(c+Ц3). Чтобы записать его в виде m+

nЦ3, освободимся и от иррациональности в знаменателе:

Числа (ac-3bd)/c²-3d²) и (bc-ad)/(c²-3d²) рациональны, а потому (a+bЦ3)/(c+dЦ3) принадлежит нашему множеству.

Впрочем, не спешите, не все числа можно делить друг на друга (даже в поле рациональ­ных чисел). Если число с²-3d² окажется рав­ным нулю, то у нас ничего не получится. Но при рациональных с т d равенство с²-3d²=0 может иметь место только в том случае, если с=d=0. А в этом случае число с +dЦ3 равно нулю и делить на него нельзя.

Докажите сами, что числа а+bЦ5, где а и b — рациональны, образуют поле. А вот числа вида а+bЦ2+сЦ3, где а, b, с— рациональны, не образуют поля, потому что Ц2•Ц3=Ц6. Что­бы получить поле, надо расширить это множество чисел, а именно рассматривать числа вида а+bЦ2+cЦ3+dЦ6, где а, b, с, d — рацио­нальны. Поля можно строить не только из чи­сел. Например, множество всех алгебраичес­ких дробей образует поле.

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Разложение чисел на множители

С разложением чисел на множители учащие­ся знакомятся еще в начальной школе. При оты­скании общего знаменателя им приходится раз­лагать на множители знаменатели слагаемых. Нужно разложение на множители и при сокра­щении дробей.

Одно из основных утверждений арифметики гласит: каждое натуральное число единствен­ным образом разлагается на простые множи­тели. Например:

72 = 2•2•2•3•3; 1001=7•11•13

(разумеется, разложения, отличающиеся лишь порядком множителей, мы считаем одинако­выми). Напомним, что простым числом назы­вается натуральное число, имеющее только два различных делителя (само число и 1). Число 1 не считается простым.

Будем теперь рассматривать не только нату­ральные числа, но и нуль, и отрицательные целые числа. Иными словами, возьмем мно­жество всех целых чисел. На первый взгляд здесь труднее определить понятие простого числа. Ведь, например, 7 = (-1)•(-7). Значит ли это, что число 7 перестает быть простым, если его

413