Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Например, старшеклассники встречаются с комплексными числами. Верны ли для таких чисел формулы алгебры, или надо снова выяснять, чему равен куб суммы комплексных чисел?

Из сказанного следует, что проверять заново для комплексных чисел все формулы алгебры не нужно. Достаточно проверить аксиомы (1), а из них уже будут следовать все остальные формулы.

Кольца

Теперь ясно, когда верна формула

(а+b)22+2ab+b2,

да и все остальные формулы алгебры. Они верны для любых объектов, которые можно склады­вать и умножать, причем выполняются ука­занные выше аксиомы (1). Мы уже знаем три примера объектов, для которых эти аксиомы выполняются. Это — действительные числа, комплексные числа и многочлены.

Математики знают много других примеров множеств с аналогичными свойствами:

1) элементы такого множества можно скла­дывать и умножать, причем сумма и произве­дение двух элементов снова принадлежат тому же множеству;

2) среди элементов множества особо от­мечены два элемента, обозначаемые символами О и 1;

3) для каждого элемента а определен проти­воположный элемент — а, принадлежащий тому же множеству;

4) для сложения и умножения в рассматри­ваемом множестве выполняются все аксиомы (1).

Ввиду того что такие множества часто встре­чаются, для них было введено специальное название — кольцо.

Кроме рассмотренных выше трех примеров, можно указать следующие примеры колец: а) множество всех целых чисел (сумма и произ­ведение целых чисел — целые числа, так же как и число, противоположное целому); б) мно­гочлены с целыми коэффициентами; в) числа вида а+bЦ7, где а и b — произвольные целые числа.

А положительные числа (относительно обыч­ных сложения и умножения) кольца не обра­зуют, ведь число, противоположное положи­тельному, уже не является положительным.

Позже понятие кольца было расшире­но. Во-первых, отказались от требования,

что в кольцо входит элемент 1, для которого a1=1•a=а. Например, все четные числа (как положительные, так и отрицательные) образуют кольцо без единицы. Нечетные же числа вообще не образуют кольца, так как сумма двух нечетных чисел четна.

Потом отказались и от требования комму­тативности умножения, т. е. отбросили акси­ому аb=bа (сохранив остальные аксиомы). Такие кольца стали называть некоммута­тивными. Примером некоммутативного кольца является кольцо всех кватернионов. Наконец, пожертвовали и аксиомой ассоци­ативности умножения, заменив ее другими ак­сиомами.

Например, стали рассматривать кольца, в которых аксиомы коммутативности и ассоциа­тивности умножения заменяются следующими аксиомами:

аb=-bа (антикоммутативность); (ab)c+(bc)a+(са)b=0.

Такие кольца называют алгебрами Ли (по имени норвежского математика С. Ли).

Все это происходило не из любви мате­матиков к обобщениям, а потому, что были найдены важные для практики объекты, для которых имелось естественное сложение и умно­жение, но умножение не было ни коммутатив­ным, ни ассоциативным. Многие такие объекты встретились, например, в современной кванто­вой физике.

Разумеется, вследствие введения новых аксиом пришлось заменить многие формулы алгебры новыми. Например, для алгебр Ли вместо формулы (а-b)(а+b)=а2-b2 спра­ведлива формула

(а-b)(а+b)=2ab. Не прав­да ли, удивительно?!

Поля

Мы уже говорили, что понятие кольца, удовлетворяющего всем аксиомам (1), ока­залось в некоторых вопросах математики слиш­ком узким. Однако для других математических вопросов оно оказалось слишком широким, ведь в определении кольца ни звука не сказано о возможности деления. Да и не во всех коль­цах можно делить. Возьмем, например, кольцо всех (положительных и отрицательных) целых чисел. Если разделить 3 на 5, то целого числа не получится. А без деления нельзя решать даже уравнений первой степени!

412