Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Итак, правила алгебры выводятся из на­писанных нами первоначальных правил. Таким образом, искусство буквенных вычислений сводится к применению этих основных пра­вил. При этом некоторые следствия из этих правил (например, формула квадрата суммы) применяются настолько часто, что их надо так же хорошо запомнить и применять, как и первоначальные правила.

Не правда ли, это очень напоминает поло­жение дел в геометрии — там тоже есть не­сколько аксиом (т. е. первоначальных положе­ний), из которых выводятся различные след­ствия, называемые теоремами. А при решении задач приходится применять и ак­сиомы, и теоремы. Поэтому мы будем, как и в геометрии, формулы (1) называть аксиомами, а формулы вида (2) — теоремами.

Как и аксиомы геометрии, аксиомы алгебры не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической дея­тельности человечества. Прежде чем сформу­лировать положение: a+b=b+а, надо было много тысяч раз подметить такие арифмети­ческие соотношения, как: 2 + 5 = 5 + 2, 4 + 6 = 6 + 4 и т. д.

Все остальные аксиомы (1) имеют такое же происхождение: они являются буквенной за­писью многократно проверявшихся законов арифметики.

Сила букв

Уже шестиклассники хорошо понимают, насколько алгебра сильнее арифметики: вместо того чтобы решать несколько задач, отлича­ющихся только числовыми данными, можно решить одну задачу с буквенными данными, а потом подставлять в полученный ответ раз­личные числовые данные. Достаточно напом­нить задачу:

Смешали а кГ конфет ценой m рублей за 1 кГ и b кГ конфет ценой n рублей за 1 кГ. Сколько стоит 1 кГ полученной смеси?

Решение этой задачи дается буквенной фор­мулой:

A=(ma+nb)/(a+b)

• где А — стоимость 1 кГ смеси.

При этом полученный алгебраический ответ часто можно упростить, пользуясь правилами алгебраических преобразований, и тогда под­ставлять числовые данные будет гораздо проще.

На этом факте основаны многочисленные «фокусы» с отгадыванием задуманных чисел.

Например, предложим выполнить следу­ющие действия: 1) задумайте число; 2) прибавьте к задуманному числу 5; 3) полученный резуль­тат умножьте на 3; 4) отнимите от получивше­гося теперь результата задуманное число; 5) отнимите 11; 6) разделите полученный ответ на 2. Если сообщить «фокуснику» полученный результат, то он сразу назовет задуманное число. При этом ему не придется выполнять в обрат­ном порядке всей сложной последовательности действий. В самом деле, если обозначить заду­манное число через х, то действия, которые предложено выполнить, записываются следу­ющим образом:

[(х+5)•3-x-11]:2.

Упрощая это выражение, легко найдем, что оно равно х+2. Поэтому «фокуснику» доста­точно отнять от сообщенного ему результата 2, чтобы получить задуманное число.

Однако шестиклассник (да и оканчивающий школу) не оценивает полностью всю силу бук­венных формул. Он считает, что буквы в них — это обязательно какие-то числа (заранее известные или искомые). На самом же деле, производя действия с буквами, он исполь­зует лишь аксиомы алгебры и их следствия. Поэтому все его вычисления годятся не только для чисел, но и для любых вещей, для которых выполняются эти аксиомы. Например, буквы могут означать не отдельные числа, а много­члены, алгебраические дроби и другие алге­браические выражения.

Ведь хорошо известно, что для сложения и умножения многочленов выполняются те же аксиомы (1), что и для сложения и умножения чисел. Например, если а и b — некоторые мно­гочлены, то а+b=b+а, аb=bа и т. д. От­сюда следует, что в любое алгебраическое тож­дество вместо букв можно подставлять не только числа, но и любые многочлены. Например, из того, что

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),

следует тождество:

(x2+х+1)3-(x2-х+1)3= 2х[(х2+х+1)2+2+х+1)(x2-х+1)+(x2-x+1)2]].

Если, кроме чисел и многочленов, нам встре­тятся другие вещи, которые можно складывать и умножать, причем выполняются аксиомы (1), то для них будут верны все формулы и выводы алгебры.

411