- Как же вам удается оперировать с та­кими непохожими друг на друга вещами, как квадратные таблицы, гиперкомплексные числа, геометрические преобразования? Что может быть общего в действиях над ними? И как вы узнаете, какие формулы имеют место в тех или иных случаях?

— Весьма несложно; для этого в моем рас­поряжении имеется столь мощное оружие, как аксиоматический метод, который...

— Не может быть,— воскликнул оконча­тельно выведенный из равновесия древний грек,— ведь аксиомы относятся к области гео­метрии?!

...Прервем на этом нашу конференцию и постараемся разобраться во всем сказанном.

Фундамент алгебры

Из всех сделанных высказываний школь­нику Васе Игнатьеву, который был корреспон­дентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым правильным показа­лось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра — искусство буквенных вычислений. Вася учился тогда в седьмом классе и на уроках алгебры много занимался буквенными вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты, и показатели степени, и многое другое — от букв в глазах рябило. Он часто думал: «Хорошо было бы иметь ответы ко всем примерам из Ларичева!» Но вскоре по­нял, что это не поможет,— учитель для кон­трольных работ брал примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех

задач из всех задачников на свете — это, по­жалуй, никому не под силу, разве что фокус­никам из цирка, выступающим с сеансами фе­номенальной памяти.

Делать нечего, приходилось заучивать пра­вила: что происходит с коэффициентами и по­казателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность в квадрат и многое другое.

Вася был мальчик любознательный и за­хотел узнать, откуда же эти правила берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных правил. Эти первоначальные пра­вила таковы:

Из этих правил можно вывести все осталь­ные. Покажем, как выводится формула

(а+b)²=а²+2аb+b², (2)

обсуждавшаяся на необычной конференции. По закону дистрибутивности имеем:

(а+b)²=(а+b)(а+b)=(а+b)а+(а+b)b.

Используя коммутативность умножения, по­лучаем:

(а+b)²= а(а+b)+b(а+b).

Вторично применяя дистрибутивность, а так­же коммутативность умножения и ассоциатив­ность сложения, находим: (a+b)²=(а²+аb)+(bа+b²)=(а²+ab)+(аb+b²)=а²+(аb+ab)+b². Здесь

аb+аb=аb•1+ab•1=аb(1+1)=аb•2=2аb, и потому

(а+b)²=а²+2аb+b². Попробуйте таким же способом проследить вывод формулы:

(а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³. Вы увидите, что при этом придется использо­вать и закон ассоциативности умножения.

410