- Как же вам удается оперировать с такими непохожими друг на друга вещами, как квадратные таблицы, гиперкомплексные числа, геометрические преобразования? Что может быть общего в действиях над ними? И как вы узнаете, какие формулы имеют место в тех или иных случаях?
— Весьма несложно; для этого в моем распоряжении имеется столь мощное оружие, как аксиоматический метод, который...
— Не может быть,— воскликнул окончательно выведенный из равновесия древний грек,— ведь аксиомы относятся к области геометрии?!
...Прервем на этом нашу конференцию и постараемся разобраться во всем сказанном.
Из всех сделанных высказываний школьнику Васе Игнатьеву, который был корреспондентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым правильным показалось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра — искусство буквенных вычислений. Вася учился тогда в седьмом классе и на уроках алгебры много занимался буквенными вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты, и показатели степени, и многое другое — от букв в глазах рябило. Он часто думал: «Хорошо было бы иметь ответы ко всем примерам из Ларичева!» Но вскоре понял, что это не поможет,— учитель для контрольных работ брал примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех
задач из всех задачников на свете — это, пожалуй, никому не под силу, разве что фокусникам из цирка, выступающим с сеансами феноменальной памяти.
Делать нечего, приходилось заучивать правила: что происходит с коэффициентами и показателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность в квадрат и многое другое.
Вася был мальчик любознательный и захотел узнать, откуда же эти правила берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных правил. Эти первоначальные правила таковы:
Из этих правил можно вывести все остальные. Покажем, как выводится формула
(а+b)2=а2+2аb+b2, (2)
обсуждавшаяся на необычной конференции. По закону дистрибутивности имеем:
(а+b)2=(а+b)(а+b)=(а+b)а+(а+b)b.
Используя коммутативность умножения, получаем:
(а+b)2= а(а+b)+b(а+b).
Вторично применяя дистрибутивность, а также коммутативность умножения и ассоциативность сложения, находим: (a+b)2=(а2+аb)+(bа+b2)=(а2+ab)+(аb+b2)=а2+(аb+ab)+b2. Здесь
аb+аb=аb•1+ab•1=аb(1+1)=аb•2=2аb, и потому
(а+b)2=а2+2аb+b2. Попробуйте таким же способом проследить вывод формулы:
(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3. Вы увидите, что при этом придется использовать и закон ассоциативности умножения.
410