Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

подсчитать так, как предложил его вавилон­ский коллега.

Алгебраист XVI в. записал формулу квадра­та суммы в следующем виде:

В переводе это читалось бы примерно так: А + В в квадрате равно А в квадрате +В в квадрате +А на В2. (Как видите, вместо скобок он писал черту, степени обозначал сло­вами, а коэффициенты писал в конце.)

- Не слишком удобные обозначения,— сказал иронически математик XVII в.

— Однако и с этими обозначениями мы умеем делать значительно больше, чем древ­ние греки,— с обидой возразил выступавший.— Они умели решать лишь квадратные урав­нения, а мы справляемся и с уравнениями третьей и четвертой степеней. Жаль лишь, что слишком часто эти уравнения не решаются, так как полученные формулы приводят к не­лепой операции извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

Выступавший следующим алгебраист XVII в. написал формулу квадрата суммы уже в при­вычном для нас виде:

(а + b)22+2аb+b2.

Он добавил, что его предшественники слишком узко понимают эту формулу. Прежде всего, в ней а и b не обязательно являются длинами отрезков, а сами могут быть площадями, объ­емами, весами и даже отрицательными числами. Более того, вместо а и b в эту формулу можно подставить любые многочлены, например:

[x2+(х+1)]2 = x4+2х2(х+1)+(х+1)2.

Он сказал еще, что эта формула является только одной из большого числа знакомых ему алгебраических формул и что ему хорошо известно искусство буквенных вычислений, а это искусство и есть алгебра.

Алгебраист XVIII в. заявил, что о формуле квадрата суммы нечего много говорить: эта формула, как и все буквенные вычисления,— удел школьной математики. При этом он от­метил, что она всегда верна, и притом не толь­ко для положительных или отрицательных чисел, но и для комплексных, а эти числа совсем не такая уж нелепость! Что же ка­сается предмета алгебраической науки, то это вовсе не искусство буквенных вычисле­ний, а умение решать уравнения и системы уравнений. Для систем уравнений первой сте­пени у него даже есть общая формула решения.

Выступление математика XIX в. часто пре­рывалось возгласами недоверия и шумными восклицаниями. Было ясно, что это выступле­ние явилось для большинства участников полной неожиданностью. Да и в самом деле, выступавший заявил, что формула (а+b)2= а2+2аb+b2 верна далеко не во всех случаях! Например, английский математик У. Гамильтон занимался обобщением комплексных чисел. Он построил числа, названные кватернионами, у которых не одна, а целые три мнимые еди­ницы i, j, k. Так вот, для кватернионов (ко­торые находят много интересных применений) формула квадрата суммы просто неверна. Неверна потому, что здесь мы сталкиваемся со случаем, когда умножение некоммутативное, т. е. не выполняется переместительиый за­кон умножения (например, ij=k, ji=-k), а при выводе формулы квадрата суммы мы пользуемся равенством ab=bа.

Выступавший сказал, что другие матема­тики рассмотрели еще более удивительные обоб­щения комплексных чисел, для которых ум­ножение не только некоммутативно, но даже и неассоциативно, т. е. в общем случае

b)(bс).

Выступивший вслед затем алгебраист XX в. сказал, что гиперкомплексные числа — это только примеры к тем общим теориям, которы­ми он занимается. Он может доказывать тео­ремы, которые верны не только для гиперком­плексных чисел одного вида, а для всех гипер­комплексных чисел (или для очень многих видов таких чисел). Он умеет складывать и умножать не только числа и многочлены, а и такие вещи, как квадратные таблицы, геомет­рические и алгебраические преобразования, логические суждения и т. д. (см. статью «Алгебра множеств и алгебра логики»).

409