Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

пирамиды называют отрезок, соединяющий се­редины какой-либо пары противоположных ре­бер.

Доказать, что все три средних отрезка пи­рамиды пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Эту точку называют центро­идом пирамиды.

5. Доказать, что если S1, S2, S3, S4 — сере­дины сторон А1А2, А2А3, А3А4, А4 А1 произволь­ного (даже и не плоского) четырехугольника, то они являются последовательными вершинами параллелограмма

6. Для произвольного восьмиугольника А1А2...А8 построены центроиды1 S1, S2, ..., S8 четырехугольников: А1А2А3А4, А2А3А4А5, ..., A5A6A7A8, A6A7A8A1, ..., А8А1А2А3.

Доказать, что восьмиугольник S1S2 ...S8 — центральный, т. е. что его диаметры S1S5, S2S6, S3S7, S4 S8 пересекаются в общей точке, которая делит каждый из них пополам.

7. Пусть точки B1, B2, ...,В6 — середины сто­рон А1А2, A2A3, ..., А5А6, А6А1 центрального шестиугольника. Доказать, что они также являются последовательными вершинами цен­трального шестиугольника.

Каково взаимное расположение центров обоих шестиугольников? Ответ. Они совпадают.

8. По двум заданным центральным шести­угольникам А1А2...А6 и B1B2...B6 построить шестиугольник C1C2...C6 такой, что его вер­шина Сi симметрична вершине Аi, относитель­но середины отрезка BiB i+1 (i = 1, 2, ..., 6;

B7=B1).

Что можно сказать о многоугольнике

C1C2...C6?

Ответ. Он центральный; его центр сим­метричен центру многоугольника А1,...А6 от­носительно центра многоугольника В1...В6.

9. Сформулировать и решить задачу для двух центральных восьмиугольников, анало­гичную предыдущей задаче.

10. Доказать, что

-(A+В)=(-А)+(-В). Указание. Используя сочетательное свойство сложения и формулы (4') и (4"), убе­диться в справедливости равенства:

(А+В)+{(- А) + ( - В)}=PP®.

11. Найти вектор X, удовлетворяющий уравнению:

Х+А=В.

Доказать, что это решение единственное.

Ответ. X=В+(-А).

Замечание. Вектор В+(-А) назы­вают разностью векторов; B (умень­шаемый вектор) л А (вычитаемый).

В векторной алгебре его принято обозна­чать: В-А. Поэтому в последующих задачах используется равенство:

В-А=В+(-А).

12. Доказать, что

(А+В)-С=А+(В-С).

Каждый из этих векторов принято записывать:

А + В — С.

13. Доказать, что

А-(В+С)=(А-В)-С. (Принята запись: (А-В)-С=А-В-С.)

14. Доказать, что

А-(В-С)=(А-В)+С. (Принята запись: (А-В)+С=А-В+С.)

15. По заданным радиус-векторам то­чек А и С выразить (вычислить) радиус-век­тор точки A', симметричной точке А относи­тельно точки С. Ответ. А'=2С-А.

16. Точка М отражается от вершины А1 произвольного треугольника A1A2A3, т. е. строится точка M1; симметричная точке М относительно точки А1. Полученная точка М1 отражается от вершины А2; получаем точку M2, которую отражаем от вершины А3; воз­никает точка М3.

Что можно сказать о взаимном расположе­нии точки М3 относительно исходной точки М?

Ответ. Точка М3 симметрична точке М относительно точки A4, которая является чет­вертой вершиной параллелограмма, построен­ного на векторах А2А1® и А2А3®.

17. На отрезке MN расположены точки M1 и М2 так, что M1 есть середина отрезка MM2, а М2середина отрезка M1N. Выра­зить радиус-векторы точек М1 и M2 через радиус-векторы точек М и N.

Ответ. М1=1/3(2М+N);

О

М2 = 1/3•(М+2N).

18. Разделим какую-либо медиану треуголь­ника АBС на три равных отрезка и рассмотрим ту точку деления S, которая ближе к основа­нию.

Выразить радиусы-векторы точки S через радиус-векторы точек А, В, С.

1 См. задачу 3.

407