Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Рассмотрим теперь вместе с центральным шестиугольником A1A2A3A4A5A6 еще и какой-либо другой центральный шестиугольник BlB2B3B4B5B6 и рассмотрим точки C1, C2, С3, С4, С5, С6, являющиеся серединами отрезков А1B1, A2B2, ..., А6B6.

Требуется доказать, что эти точки явля­ются последовательными вершинами централь­ного шестиугольника и что его центр делит по­полам отрезок, соединяющий центры обоих исходных шестиугольников.

Для доказательства полезно прежде всего доказать: если точки P1,..., Р6 последова­тельные вершины центрального шестиуголь­ника, то радиус-векторы P1,..., P6 его вершин удовлетворяют следующим двум равенствам:

Р1+Р4=Р2+Р5; Р2+Р5=Р36 (a)

и наоборот.

Далее нужно записать в алгебраической форме условие задачи (это приведет к четырем векторным равенствам), учесть, что радиус-векторы точек Ci определяются формулой:

Ci=1/2(Ai+Bi) (i= l, 2,...,6),

и убедиться, что из упомянутых четырех усло­вий следует, что векторы Сi удовлетворяют соотношениям (а).

Задача о двух серединах

По заданным трем точкам А, В, С постро­им: а) середину С' отрезка АВ, а затем середи­ну С" отрезка СС';

б) середину А' отрезка ВС, а затем середи­ну А" отрезка АА'.

Возможно ли такое расположение исходных трех точек А, В, С, при котором точка А" совпадает с точкой С"?

Ответ. Только в том случае, когда точки А и С совпадают.

Решение.

2С'=А+В,

2С"=С"+С, и поэтому

2(2С'')=(С'+С)+(С'+С)=2С'+2С; таким образом,

2•(2С")=(А+В)+2С=(А+В+ С)+С. (a)

Аналогично получим:

2•(2А")=(В+С+А)+А. (a')

Точки С" и А" совпадут, если С"=А", т. е. в силу формул (a) и (a'), если

(А+В+С)+С =(В+С+А)+А;

а это равенство возможно только при С=А, т. е. если точка А совпадает с точкой С.

Решите сами следующие задачи

1. Условимся в следующих обозначениях:

РА®=1•PA®; РА®+РА®=2•РА® PA®+РА®+РА®=3•РА®,

А'+А+А+А=4•А и т. д. (a)

Доказать, что для произвольных целых чисел m и n справедливы равенства:

mА+nА=(m+n)А; (b1)

m(А+В)=m•А +m•В; (b2)

n(mА)=(nm)А. (b3)

Справедливость формул (b) делает целесооб­разным называть вектор mА произведе­нием числа т к вектора А. Таким образом, эта операция обладает свойством рас­пределительности (формулы b1 и b2) и сочета­тельности (формула b3).

2. Пусть С — середина отрезка АВ, С' — сере­дина отрезка АС и С" середина отрезка С'В.

Выразить радиус-векторы точек С' и С" через радиус-векторы точек А и В.

Ответ. 4С'=3. А+В; 4С"=А+3•В.

3. Средним отрезком произвольного четы­рехугольника (даже и не плоского) называют отрезок, соединяющий середины его двух про­тивоположных сторон. Доказать, что средние отрезки четырехугольника пересекаются и де­лят друг друга пополам.

Указание к решению. Если А, В, C,D — последовательные вершины четырехугольника и если точка М — середина среднего отрезка, соединяющего середину стороны АВ с середи­ной стороны CD, то 4•М=(А+В)+(С+D).

Точку пересечения обоих средних отрезков называют центроидом четырехугольника ABCD.

4. Каждая треугольная пирамида ABCD имеет три пары противоположных ребер: АВ и CD; АС и BD; AD и ВС. Средним отрезком

406