Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

векторы проводить на чертеже, достаточно себе их представить.) Тогда, в силу условия задачи, радиус-векторы точек Р1, Р2, P3, отражений точки Р, определяются по формулам:

P1=A2,+А3; Р231; Р3=А12. Пусть С1 — середина отрезка A1P1; тогда:

2•С1111+(А23). Пусть С2 — середина отрезка А2Р2, тогда:

2C2=A2+P2=A2+(A31).

Учитывая, что правые части этих формул равны между собой, придем к выводу, что 2•С1=2•С2, т. е. убедимся, что отрезки А1Р1 и А2Р2 имеют общую середину С, имею­щую радиус-вектор C1=С2. Аналогичным спо­собом убедимся, что и отрезки A1P1 и А3Р3 имеют общую середину С, имеющую радиус-вектор C1=С3, Таким образом, все три отрезка имеют общую середину С, а это и требовалось доказать. Запомним, что

2•C=A1+A2+A3 (a)

2. Пусть точки Ql, Q2, Q3 — середины отрезков Р2Р3, P3P1, ,P1P2, рассмотренных в предыдущей задаче, а точки М1, М2, М3 — середины сторон А2А3, А3А1, А1А2. Что можно сказать об от­резках M1Q, M2Q2, M3Q3?

Рис. 9 б. Вторая задача о треугольнике.

Из рис. 9 б видно, что они пересекаются в одной точке, которая является их общей се­рединой. Вот алгебраическое доказательство:

2•Q1=Р23=(А31)+(А12)=2•А123, (b)

2•Q2=P31=(А1+A2)+(А23)=2A2+A3+A1, (b')

2Q312=23)+(А31)=2A3+A1+A2, (b'')

Если D1 — середина отрезка М1 Q1, то 2Dl = M1+Q1

и, следовательно,

Аналогичным образом получим:

Правые части формул (g), (g'), (g") равны между собой, и поэтому D1=D2=D3, что и требова­лось доказать.

3. Что можно сказать о прямых A1Q1, A2Q2, A3Q3?

Ответ. Они пересекаются в одной точке, которая симметрична точке Р относительно точки С (сделать чертеж).

Доказательство. Обозначим бук­вой Р' точку, симметричную точке Р относи­тельно точки С; тогда Р'=2С и, в силу фор­мулы (a),

P'=A1+A2+A3.

Обозначим теперь буквой А1' середину отрез­ка А1Р'; тогда:

2•А'11+Р'=2•А123. Правая часть этой формулы совпадает с пра­вой частью формулы (b), и поэтому А'1=Q1, т. е. точка А'1 есть не что иное, как уже из­вестная нам точка Q1. Отсюда следует, что точка Р' лежит на прямой A1Q1.

Аналогичным образом докажем, что она лежит и на прямой A2Q2, и на прямой A3Q3, а это и требовалось доказать.

Задача о двух центральных шестиугольниках

Шестиугольник А1А2А3А4А5А6 будем на­зывать центральным, если его главные диаго­нали А1А4, А2А5, А3А6 пересекаются в од­ной точке и делятся в этой точке пополам. Эту точку будем называть центром цен­трального шестиугольника1.

1 Если вершины шестиугольника лежат в одной плоскости, то он называется плоским, если же они не лежат в одной плоскости, то он называется косым. Центральный шестиугольник может быть либо плоским, либо косым. Но центральный четырехугольник обя­зательно плоский — это просто параллелограмм.

405