Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Равенство (9) записывает, таким образом, первую треть условия задачи; другая треть запишется, очевидно, равенством:

PА'®+РС'®=PB'®+PD'®. (9')

Перейдем теперь к алгебраической записи требований, содержащихся в доказываемой нами теореме; они, очевидно, состоят в том, что нужно доказать справедливость равенства:

PА"®+РС''®=PВ"®+PD"® (10)

(потому что его справедливость есть, как мы это выше установили, условие того, что точки А", В", С", D" вершины параллелограмма). Приступая к доказательству справедливо­сти формулы (10), примем сначала во внима­ние, что по условию задачи (еще не записан­ная оставшаяся треть условия!)

2•РА®=РА®+ РА'®; 2•PC"®=PC®+ PC'® и, следовательно,

2•РА''®+2•PC"®=PА®+PA'®+PC®+РС'®; поэтому

2•(РА"® + PC''®)=PA®+РА'®+РС®+PC'®. (b) Учтем еще, что по условию задачи

2•РB"®=РВ®+PВ'®; 2PD"®=PD®+PD'®, и получим:

2•(PB"®+2PD''®) = PВ®+PB'®+PD®+ PD'®. (b')

Нетрудно, однако, убедиться в том, что пра­вые части равенств (b) и (b') равны между собой — это сразу следует из формул (9) и (9'), с помо­щью которых мы записали условие задачи (если их почленно сложить и воспользоваться тем замечательным свойством сочетательности суммы многих векторов, о котором мы говорили на стр. 402). Отсюда следует, что и левые части формул (b) и (b') равны между собой, т. е. что

2•(РА"®+PC"®)=2•(РВ"®+PD"®);

поэтому оказывается справедливым равен­ство, которое и требовалось доказать.

Экономное обозначение для радиус-векторов

Оно возникает, если принять во внимание,

что радиусы-векторы РА®, РВ®, PC®, ... точек А, В, С, ..., рассматриваемых в какой-либо задаче, все имеют общее начало Р. Целесообразно поэтому не включать букву Р, изобра­жающую это начало, в обозначение радиус-вектора, а сохранить в обозначении только его конец, т. е. точку, которую он изображает.

Таким образом, векторы РА, РВ, PC, ... будем

обозначать А, В, С, .... Это упростит внешний вид формул. Чтобы привыкнуть к таким обо­значениям, полезно вернуться к решению за­дачи о двух параллелограммах и записать ее решение в новых обозначениях.

Укажем еще, что в печатном тексте вместо

изображения радиус-векторов символами A, B,... используют А, В, ..., т. е. те же буквы, но набранные жирным шрифтом.

Три задачи о треугольнике

1. Произвольная точка Р отражена от середины сторон треугольника A1A2A3, т. е. построены точки:

P1 — симметричная точке Р относительно середины стороны А2А3,

Р2 — симметричная точке Р относительно середины стороны А3А1,

Р3— симметричная точке Р относительно середины стороны А1А2.

Что можно сказать об отрезках А1Р1, А2Р2 А3Р3?

Ответ подскажет опыт, т. е. тщательно вы­полненный чертеж. Он покажет, что эти три отрезка пересекаются в одной точке, которая делит каждый из них пополам.

Рис. 9 а. Первая задача о треугольнике.

Для доказательства выберем начало радиус-векторов в точке Р и, исполь­зуя экономные обозначения, обозначим А1, А2, А3 радиус-векторы вершин заданного тре­угольника (рис. 9 а). (Не советуем эти радиус-

404