Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

получим важнейшее для геометрических при­ложений основное правило:

РА®+РВ®= 2•РС®. (8)

Очень полезно запомнить его словесную фор­мулировку: сумма радиус-векторов двух ка­ких-либо точек равна удвоенному радиус-век­тору середины отрезка, определяемого этими точками. Эту формулу можно, очевидно (см. формулу (3), записать и в следующем виде:

РС® (1/2)•(PA®+PB®), (8')

или словами: радиус-вектор середины отрезка равен половине суммы радиус-векторов концов этого отрезка.

Формулы (8) и (8') записывают, таким обра­зом (на алгебраическом языке), простой гео­метрический факт — взаимное расположение се­редины произвольного отрезка относительно его концов. Это обстоятельство имеет очень важные последствия — оно создает возможность алгеб­раически записывать ( как мы в этом скоро убедимся) и более сложные геометрические фак­ты; отсюда возникает алгебраический (точнее, векторно-алгебраический) способ решения мно­гих геометрических задач.

Этот метод изучения геометрии дает не мень­ше пользы, чем метод алгебраического реше­ния арифметических задач. Покажем это на примерах.

Задача о двух параллелограммах

Пусть точки А, В, С, D — последователь­ные вершины параллелограмма; А', В', С', D' последовательные вершины другого па­раллелограмма. Обозначим точки, являющиеся серединами отрезков АА', BВ', СС', DD', соответственно буквами А", B", С", D".

Что можно сказать о четырехугольнике А"В"С"D"? Посоветуем прежде всего сделать аккуратный чертеж, соответствующий усло­вию задачи, он сразу подскажет ответ: че­тырехугольник A"B"C"D" — параллело­грамм, у которого точки А", С" и В", D" — противоположные вершины.

Теперь следует дать геометрическое дока­зательство нашего (подсказанного только что проделанным опытом) предположения — пусть это сделает читатель самостоятельно. А сейчас познакомимся с новым — алгебраическим — методом решения этой задачи.

Начнем с того, что запишем, как это всегда делают при алгебраическом методе решения,

условие задачи с помощью формул. С этой целью выберем прежде всего какую-либо точ­ку в качестве начала всех радиус-векторов тех 8 точек, которые заданы в условии задачи:

PA®, PB®, PC®, PD®; PA'®, РВ'®, РС'®, PD'®.

Изобразите их на вашем чертеже.

Обозначим буквой М середину диагонали А С первого параллелограмма. Тогда, в силу формулы (8):

РА®+РС®=2•РМ®. (a)

Примем теперь во внимание, что эта точка М является также и серединой диагонали BD; поэтому

PB®+PD® = 2PM®. (a')

Из равенств (а) и (а') следует, что

РА®+РС®=PB®+PD®. (9)

Словами: если А, В, С, D последовательные вершины какого-либо параллелограмма, то их радиус-векторы (относительно произвольно вы­бранного начала) удовлетворяют равенству (9).

Легко убедиться в справедливости и об­ратной теоремы: если радиус-векторы точек А, В, С, D (не лежащих на одной прямой) удов­летворяют равенству (9), то эти точки яв­ляются последовательными вершинами парал­лелограмма .

В самом деле, пусть М — середина отрезка АС, N — середина отрезка BD. Тогда, в силу основного правила (8), получим:

PA®+РС®=2•PM®; РВ®+ PD®=2PN®

По условию теоремы

РА®+ РС®=РВ®+PD®, (a)

поэтому

2PM ®=2PN®, и, следовательно,

РМ®=PN®,

а это показывает, что точки М и N совпадают; таким образом, диагонали АС и BD четырех­угольника ABCD делят друг друга пополам, а это означает, что ABCD параллелограмм, что и требовалось доказать.

403