Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

двух векторов не обладала свойствами переме­стительности и сочетательности. Но, к сча­стью, эти свойства имеют место, а из них логически следует, что все четыре вектора PS®i равны между собой. Так, например:

Правые части этих формул равны между собой, и, следовательно,

Легко теперь понять, что результат сложе­ния пяти слагаемых (шести, семи и т. д.) также не зависит от порядка, в котором они будут складываться. Можно также убедиться в справедливости сочетательного свойства сум­мы многих слагаемых, т е. доказать, что при нахождении суммы любого числа слагаемых век­торов можно их произвольным образом сочетать в две группы: в первую войдут какие-либо из слагаемых, во вторую все остальные. Если теперь составить сумму всех слагаемых, входя­щих в первую группу, и прибавить к ней сумму всех слагаемых, входящих во вторую группу, то получится вектор, равный сумме всех исходных векторов.

В дальнейшем мы познакомим читателя еще и с другими действиями над векторами: вычита­нием вектора и умножением вектора и числа. Основные свойства этих операций мы запишем в общей, буквенной форме и таким образом ознакомимся с основами векторной алгебры.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ПОМОГАЕТ ГЕОМЕТРИИ

Зачем изучают векторную алгебру

Затем, что она создает возможность решать такие задачи геометрии, механики и физики, в которых в явной форме (а иной раз и в скры­той) участвуют направленные отрезки.

Мы уже говорили о том, что силы, рассмат­риваемые в механике и физике, очень наглядно

изображаются векторами; такую же нагляд­ность имеет векторное изображение перемеще­ний, скоростей.

Не столь ясно, однако, на первый взгляд, какую роль могут сыграть векторы при изуче­нии геометрии; но именно в этой области век­торная алгебра с особенным успехом может быть использована для решения задач.

Суть дела коренится в следующем обстоя­тельстве. Изучение многих геометрических проблем сводится к изучению взаимного рас­положения отдельных точек пространства, со­ставляющих рассматриваемые в задаче фигу­ры. Целесообразно поэтому выбрать в про­странстве какую-либо одну определенную точку (обозначим ее буквой Р и будем называть начальной точкой или коротко — на­чалом) и соединить ее направленным отрез­ком с каждой из тех точек А, В, С, которые входят в изучаемую фигуру.

Таким образом, мы получим векторы:

PА®, PB®, PC®,. . .,

т. е. для каждой точки М фигуры свой вектор:

РМ®. Его называют радиус-вектором1 точ­ки М, и он полностью характеризует расположе­ние точки М относительно начала. Другими словами, если точка М будет почему-либо утеряна, но сохранится ее радиус-вектор, мы ее легко восстановим, придется только учесть, где расположен конец этого радиус-вектора.

Важная для геометрии алгебраическая формула

Эта формула очень легко получается — стоит только алгебраически записать правило сере­дины, используя формулу (2). Если точка С — середина отрезка АВ, то по правилу середины:

PA®+PB®=PQ®,

где точка Q симметрична Р относительно точ­ки С. Учитывая, что в силу формулы (2)

РQ®= 2PС®,

1 Это название, введенное впервые Кеплером, удер­жалось до настоящего времени, хотя оно не совсем удачно; приставка «радиус» перед словом «вектор» может создать у читателя ложное представление, что вместе с радиус-вектором следует еще рассмотреть и некоторую окружность. Однако это не так; дело толь­ко в том, что существует единый центр Р (мы его назва­ли началом), в котором начинаются все радиус-векторы РА, РВ,... тех точек, которые мы изучаем.

402