Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Рис. 3. Сложение векторов по правилу середины: PQ®=PA®+РВ®.

pa®+pb®=pq®. (1)

Описанное правило сложения векторов на­зовем правилом середины.

Если слагаемые векторы РА® и РВ® не лежат на одной прямой, то, как легко видеть из

рис. 4, вектор PQ®, являющийся их суммой,

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма: PQ®=PA® +PB®.

представляет собой диагональ параллелограм­ма, сторонами которого являются векторы РА®

и РВ® (в самом деле, в четырехугольнике PAQB диагонали АВ и PQ делят друг друга пополам,— это непосредственно вытекает из правила середины).

Таким образом, для сложения векторов РА

и РВ, не лежащих на одной прямой, можно вместо правила середины воспользоваться сле­дующим правилом: строим параллелограмм PAQB, сторонами которого являются векто­ры-слагаемые РА и РВ, т. е. из конца А пер­вого слагаемого строим прямую, параллельную второму слагаемому, а из конца B второго слагае­мого строим прямую, параллельную первому сла­гаемому. Точка Q пересечения построенных пря­мых и будет концом вектора PQ, являющегося

суммой слагаемых РА и РВ. Для краткости го­ворят: сумма двух векторов есть вектор, являю­щийся диагональю параллелограмма, построен­ного на слагаемых векторах.

Это правило сложения векторов называют правилом параллелограмма. Оно, однако, непригодно, когда слагаемые векторы лежат на одной прямой — такие векторы на­зываются коллинеарными; в этом случае применяют правило середины.

Рассмотрим, например, случай, когда век­тор PC складывается с самим собой, т. е. когда

разыскивается сумма PC + PC (рис. 4а). Прибегнем к правилу середины: а) середина отрезка СС, соединяющего концы слагаемых векторов, есть, очевидно, точка С; б) остается

Рис. 4 о. Сумма двух равных векторов:

PC®+PC®=2PC®=PQ®.

построить точку Q, симметричную точке Р относительно точки С,— она будет концом отрезка PQ, серединой которого является точ­ка С.

Таким образом, вектор PC®+PC® направлен одинаково с вектором PC и имеет длину вдвое

большую, чем длина вектора PC. Этот вектор — сумму двух одинаковых слагаемых — обозна­чают 2•PC®. Итак:

РС®+РС®=2•РС®. (2)

Полезно запомнить (это нам понадобится в дальнейшем), что если точка Q симметрична точке Р относительно точки С, то

РQ®=2•РС®.

Эту формулу записывают также и в следующем виде:

PC®=1/2PQ®. (3)

Возвратимся теперь к случаю, когда складываются два произвольных коллинеарных вектора (сонаправленных или противона­правленных). Применяя правило середины, придем к следующим результатам: при сложе­нии двух сонаправленных векторов1 РА® и

РВ (рис. 4б) получается вектор PQ®, который имеет такое же направление, как и слагаемые векторы, а его длина равна сумме длин слага-

1 Т. е. таких, что точки Р, А, В так расположены на одной прямой, что точка Р лежит вне отрезка АВ.

398