Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Под суммой (дизъюнкцией) вы­сказываний а и b понимается высказывание, которое мы получим, если объединим высказы­вания а и b союзом «или». Например, если а есть высказывание «он отличник», a b — вы­сказывание «он сидит в первом ряду», то через a+b будем обозначать высказывание «он является отличником или сидит в первом ря­ду». При этом частичку «или» мы будем всегда понимать в смысле: «или первое, или второе, или то и другое вместе». Ясно, что если А есть множество истинности высказывания a, а В — множество истинности высказывания 6, то множеством истинности высказывания а+b будет А+В (рис. 28). Так, в рассматривае­мом примере множество истинности высказы­вания а состоит из школьников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а множество истинности высказывания b — из школьников Ильи, Гри­ши, Зои, Кати, Наташи и Яши; множество же истинности высказывания а+b образуют де­вять школьников: Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша.

Под произведением (конъюнк­цией) высказываний а и b мы будем понимать высказывание ab, получаемое, если объеди­нить высказывания а и b, связав их союзом «и». Итак, множеством истинности высказывания ab является произведение (пересечение) множеств истинности высказываний а и b (рис. 29). В нашем примере это множество ab состоит из двух учениц — Кати и Наташи.

Условимся еще называть два высказывания одинаковыми, или эквивалентными, если им отвечает одно и то же множество истинности. Эквивалентность высказываний будем обозначать обычным знаком равенства. Равенство а=b означает, что содержащиеся в высказываниях а и b признаки, выделяющие определенную часть универсального множе­ства, равнозначны, имеют один и тот же смысл, разнятся только своей формой. При изучении высказываний естественно не различать между собой эквивалентные высказывания, например «он отличник» и «он имеет отличные оценки».

Мы установили, что множество истинности суммы двух высказываний совпадает с суммой множеств истинности этих высказываний; мно­жество истинности произведения двух высказы­ваний совпадает с произведением множеств

истинности этих высказываний. Отсюда сле­дует, что все известные нам правила алгебры множеств можно перевести на язык алгебры высказываний. Так, например:

а+b=b+a, ab=ba;

(a+b)+c=a+(b+с), (ab)c= a(bc);

(a+b)c=ас+bc, ab+с=(а+c)(b+c); a+0=a, aI=a;

a0=0, a+I=I;

a+a=a, aa=а и т. д.

Докажем для примера первый дистрибутив­ный закон для высказываний, т. е. равенство:

+b)с=ас+bc.

В соответствии с нашим условием множества истинности высказываний a, b и с обозначаются через А, В и С. При этом высказывание +bимеет своим множеством истинности +В)С; высказывание ас+bc имеет своим множеством истинности АС+ВС. Но множе­ства +В)С и АС+ВС совпадают; это значит, что высказывания (a+b)c и ас+bc эквивалентны.

Запишем еще законы алгебры высказыва­ний в той форме, в которой они приводятся в книгах по математической логике:

b=bЪа,

Ъb) Ъс=аЪ (bЪс),

Ъb)Щс=Щс) Ъ (bЩс),

аЩb=bЩa,

Щb) Щс=аЩ (bЩс),

(аЩb) Ъс=(аЪс) Щ (bЪс).

аЪ0=а, аЩI=а,

аЩ0=0, аЪI= I,

аЪа=а, аЩа=а.

393