Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

ти, Саши, Кати, Веры и Наташи. Однако в тех случаях, когда множество содержит много эле­ментов, этот явный, или перечислительный, способ задания множества может оказать­ся очень неудобным. Кроме того, при таком за­дании множества обычно оказывается зама­скированным самый принцип его образования, то общее, что служит причиной объединения отобранных элементов в одно множество.

Второй способ задания множества состоит в том, что мы указываем признак, харак­теризующий все элементы множества, и только эти элементы. Так, выше мы говорили: «множе­ство отличников» или «множество уча­щихся, сидящих в классе в пер­вом ряду». Такой способ задания множе­ства называется неявным или описатель­ным. Этот способ заключается в том, что мы фор­мулируем некоторое высказывание, касающееся элементов рассматриваемого уни­версального множества / («быть отлични­ком» или «сидеть в первом ряду»); далее отби­раем те, и только те, элементы множества I, которые этому высказыванию удовлетворяют.

Описательный способ задания множества связывает учение о множествах с учением о высказываниях, составляющим предмет математической логики. Высказы­ванием мы называем всякое утверждение, которое может оказаться истинным или лож­ным; при этом предполагается, что в принципе существует возможность установить, истинно данное высказывание или ложно, хотя мы, быть может, этой возможности не имеем. С этой точ­ки зрения утверждение «ровно через 100 лет в этот. день в Москве будет ясная погода» является высказыванием, поскольку через 100 лет можно будет проверить, правда это или нет. Напротив, утверждение «неделя это большой промежуток времени» высказыва­нием не является в силу неопределенности выражения «большой промежуток времени», которое у разных лиц и в различных обстоя­тельствах может иметь совершенно разный смысл; здесь, не обладая несколькими допол­нительными сведениями, никак нельзя сказать, является это утверждение истинным или нет.

Рассмотрим теперь высказывания, относя­щиеся к элементам определенного универсаль­ного множества /; в случае, когда этим мно­жеством является множество учащихся дан­ного класса, это могут быть высказывания: «он отличник», «он сидит в первом ряду», «он выше 1 м 50 см», «он старше 50 лет», «он — это девочка», «он левша», «он имеет две головы»

и т. д. Каждому такому высказыванию отве­чает некоторое множество элементов из I, для которых это высказывание является истинным; это множество называется множеством истинности данного высказывания. Мно­жество истинности может оказаться пустым; в этом случае высказывание называется тож­дественно ложным или проти­воречивым. Так, для множества учеников данного класса тождественно ложными будут высказывания «он имеет две головы» или «ему больше 50 лет»; выше у нас фигурировало еще одно высказывание, также заведомо противо­речивое в применении к ученикам какого-либо класса: «он слон». В определенном смысле противоположный случай — это тот, когда мно­жество истинности данного высказывания сов­падает со всем универсальным множеством /; в этом случае высказывание называется тож­дественно истинным или бес­содержательным. Тождественно истин­ными являются, например, высказывания: «он (ученик определенного класса) моложе 50 лет», «он мальчик или девочка».

Алгебра множеств и алгебра высказываний

Высказывания мы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита; отвечающие этим высказываниям множества истинности будем обозначать большими буквами. Так, выска­зываниям а — «он отличник» и b — «он сидит в первом ряду» отвечают указанные выше множества истинности А и В. Тождественно ложное высказывание всегда будем обозначать буквой о, а тождественно истинное выска­зывание — буквой i.

Рассмотрим теперь две операции, позволяю­щие по двум высказываниям строить новые, составные высказывания. В математической логике эти операции называются латинскими терминами «дизъюнкция» и «конъ­юнкция» и обозначаются специальными значками Ъ и Щ так, а Ъ b означает дизъюнк­цию высказываний а и b, аЩb — конъюнкцию (сравним с обозначениями суммы и произведе­ния, или объединения и пересечения, мно­жеств, указанными на стр. 389). Мы здесь для простоты почти не будем употреблять этих сложных терминов и символов; вместо этого будем говорить о сумме а+b и произ­ведении аb высказываний а и b.

392