Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Джордж Буль.

(AИB) ИC=AИИС), (A?B) ?C=A? (B?C) (ассоциативные законы);

(AИВ) ?С=(А?С) И?С),

(A?B) ИC=(AИC)?(BИC)

(дистрибутивные законы);

AИ0=A, A?I=A,

A?0=0, A?= I,

АИА=А, A?A=A.

Мы, однако, предпочтем во всех случаях пользоваться знакомыми символами сложения и умножения.

Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств

Вернемся к установленным выше свойствам действий алгебры множеств. Сразу бросается в глаза чрезвычайно тесная связь между за­конами, относящимися к сложению множеств, и законами умножения. Выпишем снова эти законы:

А+В=В+А, АВ=ВА;

(А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС);

(А+В)С=АС+ВС, АВ+С=(А+С) (В+С);

A +0=A, AI=А;

А+I=I, А0=0;

А+А=А, АА=А

и т. д. Из этой таблицы видно, что всякое равен­ство, тождественно выполняющееся в алгебре множеств, при замене знака сложения множеств знаком умножения, и наоборот, и пустого множества О (если оно входит в наше равен­ство) универсальным множеством I, и наоборот, переходит в новое равенство, также тождест­венно выполняющееся.

Сейчас мы докажем это утверждение в общем виде. Для этого нам понадобится одна свое­образная операция алгебры множеств, сопо­ставляющая новое множество не с двумя задан­ными множествами (подобно сумме А + В и произведению АВ заданных множеств), а с одним множеством А. Эта операция на­зывается образованием дополнения и обо­значается чертой, поставленной над множе­ством. А именно, через А (читается: «дополне­ние А») мы будем обозначать множество всех эле­ментов универсального множества I, не при­надлежащих множеству А. Так, если А есть множество отличников из нашего класса, то множество А состоит из всех учеников, не яв­ляющихся отличниками. На диаграмме мно­жество ? изображается частью квадрата I, не покрытой фигурой А (рис. 24). Ясно, что А+?=1, А ? =0 (см. тот же рис. 24, на кото­ром графически изображены множества А и ?); эти два равенства можно даже принять за определение множества ?. Отметим

еще, что =А (рис. 25). Это последнее равенство короче записывают так:

Очевидно, что I=0 и ?=I (так как все элементы входят в универсальное множество I и ни один элемент не входит в пустое множе­ство 0). Кроме того, легко видеть, что

т.е. если множество B составляет часть мно­жества А; то дополнение А составляет часть до­полнения В (рис. 26, а, б):

390

391