Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

(рис. 21 а, б). Так как можно считать, что АЙА, то отсюда вытекают и два выписанных ранее равенства:

А+А=А и АА=А.

Мы видим, что правила алгебры множеств во многом отличны от правил алгебры чисел. Поэтому, для того чтобы овладеть этой уди­вительной алгеброй, приходится не только «до­учиваться», но частично и «переучиваться»— отказываться от некоторых привычных пред­ставлений, связанных с опытом действий с чис­лами.

Вот, например, одно из многих необычных, с точки зрения алгебры чисел, тождеств:

(А+С)(В+С)А=АВ+СА

(рис. 22, а и б).

Укажем теперь еще одно отличие алгебры множеств от алгебры чисел, которое читатель, возможно, и не отметил. Имея дело с числами, мы можем сравнить между собой любые два числа а и b: всегда одно из них больше дру­гого (или эти числа равны). Для двух множеств А и В, однако, как правило, не будет иметь место ни одно из двух соотношений АЙВ и ВЙА. Так, в случае указанных выше множе­ства А отличников и множества В учащихся,

сидящих в первом ряду, ни одно из этих мно­жеств нельзя считать большим. Только если одно из двух множеств целиком содержится внутри другого, мы можем указать большее из них; для других же множеств А и В, гра­фически изображенных на рис. 23, а и б, ни­какое сравнение их невозможно. Таким обра­зом, лишь для некоторых пар множеств А т В можно указать, какое из этих множеств является большим.

Алгебра множеств с ее своеобразными за­конами действий, одновременно и напоминаю­щими правила действий над числами, и отлич­ными от этих правил, была впервые указана замечательным английским математиком про­шлого века Дж. Булем, отцом известной писательницы Этель Лилиан Войнич (автора романа «Овод»). По имени Буля алгебру мно­жеств часто называют «булевой алгеброй».

Основополагающее сочинение Буля, в котором впервые строилась булева алгебра, называлось «Исследование законов мысли»; оно было на­печатано в Лондоне в 1854 г., т. е. более ста лет назад. Название книги Буля сначала может показаться удивительным,— какое отношение имеет курьезная алгебра множеств к законам нашего мышления? На этот вопрос мы поста­раемся ответить ниже.

Поскольку законы действий над множест­вами отличаются от законов действий над числами, иногда считают, что эти действия нельзя обозначить теми же символами, которые используются в алгебре чисел. В математиче­ской литературе сумма множеств А и В часто обозначается через АИВ, а произведение этих же множеств через А?В. При этом правила дей­ствий булевой алгебры множеств записывают­ся в следующем виде:

AИB=BИA, А?В=В?А

(коммутативные законы);

389