Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Как уже указывалось, в алгебре чисел этот второй дистрибутивный закон, вообще говоря, места не имеет. По-другому обстоит дело с ал­геброй множеств. На рис. 16, а заштрихованы множества АВ и С, так что заштриховано на этом рисунке множество АВ+С. На рис. 16,б заштрихованы множества A+С и В+С, так что двойной штриховкой покрыто множе­ство (A+С)(В+С). Но легко видеть, что множество, покрытое на рис. 16,б двойной штриховкой, — это в точности то множество, которое заштриховано на рис. 16, а. Таким образом, для любых трех множеств А, В и С:

АВ+С= (А+С) (В+С).

Далее, выше мы отмечали курьезное равен­ство: а+1=1, получаемое из равенства а•0=0 заменой нуля единицей и умножения сложением. Но курьезным это равенство яв­ляется лишь в алгебре чисел. В алгебре же множеств, очевидно, для любого множества А:

А+I=I.

В самом деле, сумма А + I представляет собой множество, получаемое объединением универсального множества I и множества А. Но уже множество I содержит все имеющиеся в нашем распоряжении элементы, так что при­бавление к нему множества А ничего изменить не может: сумма А+I — это то же самое уни­версальное множество I!

Отметим еще необычные равенства:

А+А=А и АА=А,

также выполняющиеся для каждого множества А. В самом деле, сумма А+А представ­ляет собой объединение множества А с самим собой. Но при этом мы придем к тому же самому множеству А (рис. 17). Аналогично этому произведение АА есть пересечение множества А с самим собой, но это пере-

сечение не отличает­ся от множества А (см. тот же рис. 17).

Последние два ра­венства можно еще об­общить. Различные множества можно сравни­вать друг с другом. Ес­тественно считать, что множество А «больше» множества В, если все элементы множества В содержатся в множе­стве А. Это соотношение записывается так: AЙB или ВМА; при этом говорят, что «мно­жество А содержит множество В» или «множе­ство В содержится в множестве А». Так, мно­жество С девочек, сидящих в первом ряду (это множество состоит из школьниц Зои, Ка­ти и Наташи), содер­жится в множестве В учеников, сидящих в первом ряду: ВЙС (рис. 18). Графически соотношение АЙВ изоб­ражается тем, что фи­гура В целиком заклю­чается в фигуре А (рис. 19) или В совпадает с А1. Ясно, что если АЙВ и ВЙС, то АЙС (рис. 20); это утверждение аналогично извест­ному свойству неравенств: если а>b и b>с, то а>с.

Нетрудно видеть, что

если АЙВ, то А+В=А; АВ=В

1 Соотношение АМВ, строго говоря, переносит в алгебру множеств не соотношение а>b алгебры чисел, а соотношение аіb («число а больше или равно b»).

388