Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

«Нуль» и «единица»

Выясним, существует ли в «алгебре мно­жеств» такой элемент 0 «нуль», что прибавление его к любому множеству А не меняет этого множества. Ясно, что последнее возможно толь­ко в том случае, если «множество 0» совсем не содержит элементов, является «пустым». Но в последнем случае не хочется даже гово­рить о «множестве», какое же это множество, состоящее из отдельных элементов, если этих элементов вовсе нет?

В учении о множествах, однако, целесооб­разнее причислять пустое множество, вовсе не содержащее элементов, к числу рас­сматриваемых множеств. Ведь в противном слу­чае мы зачастую не сможем говорить о мно­жестве, не выяснив предварительно, суще­ствует оно или нет. Так, прежде чем сказать: «Множество отличников из IX «а» класса школы № 13 Ленинграда», — нам придется пойти в школу и справиться об успеваемости учеников этого класса. Гораздо удобнее спокойно гово­рить об этом множестве, оговорив только, что оно может быть и «пустым», т. е. не содержать ни одного элемента. В ряде случаев мы можем заранее сказать, что то или иное множество не является пустым; так, не пустое, разуме­ется, множество самых высоких учеников клас­са (это множество может иногда содержать и больше одного ученика). В иных случаях мы сразу скажем, что множество, о котором идет речь,— пустое. Так, конечно, пустым является множество обучающихся в нашем классе жи­вых слонов или множество учеников, имеющих две головы. Однако в большинстве случаев лишь более тщательный анализ позволяет ука­зать, является то или иное множество пустым или нет. Так, например, множество Семенов или множество левшей из нашего класса может быть пустым или не пустым. Пустое множест­во в дальнейшем всегда будем обозначать зна­ком О. Таким образом, для каждого множества А будем иметь (рис. 14):

А+0=А.

Подобно известному правилу а•0=0 ал­гебры чисел, для любого множества А:

А•0=0.

В самом деле, множество А•0, по определению, состоит из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству О. Но множество О вовсе не содержит элементов и не может со­держать элементов и множество А•0.

Теперь зададимся вопросом о «множестве 1», обладающем тем свойством, что произведение

его на любое множест­во А дает А. Последнее означает, что пересе­чение или общая часть «множества 1» и множе­ства А для любого мно­жества А совпадает с самим этим множеством. Но это возможно, разу­меется, лишь в том слу­чае, если «множество 1» содержит все вообще существующие элемен­ты. Так, если мы рассматриваем всевозможные множества учеников из нашего класса, то роль единицы будет играть множество всех обу­чающихся в классе учеников. Нетрудно понять, что, скажем, произведение этого множества и множества А будет состоять из всех отлични­ков (т. е. совпадать с А); произведение этого множества и множества В будет состоять из всех учеников, сидящих в первом ряду (т. е. будет совпадать с множеством В).

Множество, состоящее из всех элементов всех рассматриваемых множеств, называется полным, универсальным, или единич­ным; мы будем обозна­чать его знаком I. Та­ким образом, для лю­бого множества А: А•I=А.

Универсальное мно­жество I графически изображается всем квадратом, внутри кото­рого мы рисуем фигуры, изображающие различ­ные множества (рис. 15).

Удивительная алгебра

До сих пор все рассматриваемые законы действий над множествами совпадали с зако­нами действий над числами. Однако на самом деле алгебра множеств вовсе не копирует в точ­ности алгебру чисел; она обладает и многими удивительными свойствами, не имеющими ме­ста в обычной алгебре. Мы начнем со второ­го дистрибутивного закона, получаемого из первого дистрибутивного закона: (А+В)С = АС+ВС заменой сложения умножением и наоборот:

АВ+С= (А+С) (В+С).

387