Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

лыми числами, оказываются полезными и при действиях с дробями, правила действий над положительными числами полезны и при дей­ствиях с относительными числами и т. д. Это связано с тем, что общие законы, которым под­чиняется операция сложения целых чисел, ос­таются в силе и в дальнейшем, скажем при переходе к дробным числам; так, в обоих слу­чаях сложение коммутативно (т. е. а+b= b+а) и ассоциативно: +b)+с=а+(b+с).

Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти законы и для множеств. При этом нам удобно будет использовать специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условимся обозначать весь класс (точнее гово­ря, множество всех учеников класса) квад­ратом; в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников (рис. 4). При этом

Рис. 4.

отдельные множества учеников будут изобра­жаться частями квадрата; так, например, изоб­раженная на рис. 5, а фигура графически иллю­стрирует множество А отличников, а изобра­женная на рис. 5,б — множество В учеников, сидящих в первом ряду. Под суммой двух мно­жеств А и В понимается фигура, получаемая объединением фигур, изображающих мно­жества А и В (рис. 6).

Такие диаграммы принято называть диа­граммами Эйлера или диаграммами Венна. Они позволяют наглядно представить операцию сложения множеств и проверить ее свойства.

Ясно, например, что

А+В=В+А

(коммутативный закон для сложения множеств; рис. 7). Также ясно, что

(А+В)+С=А+(В+С)

Рис. 6. Сумма фигур — это их объединение.

(ассоциативный закон для сложения множеств; рис. 8). Сумму +В)+С=А+(В+С) естественно обозначать просто через А+В+С (без скобок).

Определим теперь произведение А•В или АВ двух множеств А и В как множество, получаемое в пере­сечении множеств

А и В; другими словами, в множество АВ вхо­дят те, и только те, элементы, которые входят как в множество А, так и в множество В. Так, например, если А и В — указанные выше мно­жество отличников и множество учеников, сидя­щих в классе в первом ряду, то множество АВ состоит из тех учеников, которые являются отличниками и сидят в первом ряду; оно со­стоит всего из двух учеников — Кати и Наташи (рис. 9). На рис. 10 то же множество АВ изоб­ражено на диаграмме как пересечение множеств А и В.

Использование термина «произведение» в совершенно новом смысле оправдывается тем обстоятельством, что, как и для обыкновен-

385