Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

Например:

а+b=b+a и аb=bа, (а+b)+с=а+(b+с) и (аb)с= а(bс).

Это сходство между действиями сложения и умножения находит отражение и в сущест­вовании двух замечательных чисел 0 и 1 —таких, что прибавление одного из них и умно­жение на второе не меняют ни одного числа: a+0=а и a•1=а.

Следует, впрочем, заметить, что сходство между действиями сложения и умножения не простирается особенно далеко. Так, например, число 0 играет особую роль не только по отно­шению к сложению, но и по отношению к умно­жению: эта особая роль числа 0 определяется замечательным равенством а•0=0. (Из это­го равенства, в частности, вытекает, что де­лить на 0 число а0 нельзя.) В противо­положность этому, число 1 по отношению к опе­рации сложения не играет никакой особой роли: равенство, которое получается из равен­ства а • 0 = 0 заменой числа 0 на число 1 и операции умножения — операцией сложения:

а + 1 == 1,

почти никогда не будет верным. (Это равен­ство справедливо лишь при а =0.) Также и дистрибутивный закон:

+b)с=ас+bc

подчеркивает различие между действиями сложения и умножения. Если заменить в записи этого закона сложение умножением и наоборот, то получим курьезное «равенство»:

(а•b)+с=(а+с)•(b+с),

как правило, не выполняющееся: так, 1•2+3=5, а (1+3)•(2+3)=20. (Равенство b)+с=(а+с)•(b+с) справедливо лишь при с=0 и при а+b=1.)

В математике, однако, операции сложения и умножения определяются не только для чисел. При этом иногда удается прийти к «ал­гебре», в которой сходство между операциями сложения и умножения оказывается большим, чем в обычной «числовой» алгебре. В качестве примера можно указать «алгебру множеств».

Алгебра множеств

Рассмотрим систему всевозможных мно­жеств (совокупностей) тех или иных объектов; для конкретности будем все время говорить о множествах учеников нашего класса.

Сумму А + В двух множеств А и В определим как такое множество, которое по­лучается при объединении множеств А и В; другими словами, в множество А + В входят все те, и только те объекты, которые входят в множество А или в множество В. Так, например, если А есть множество отлич­ников из нашего класса, состоящее из учени­ков Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а В —множество учеников, сидящих в первом ряду, и состоящее из школьников Ильи, Гриши, Зои, Кати, Наташи и Яши, то сумма А + В этих двух множеств состоит из учеников, которые являются отличниками или сидят в первом ряду; в нее входят ученики Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша (рис. 3).

То обстоятельство, что мы назвали «сложе­нием» совершенно новую операцию, не должно нас смущать,— ведь мы и раньше каждый раз, когда переходили от чисел одной природы к числам другой природы, определяли сложение по-новому. Ясно, например, что сложение по­ложительных и отрицательных чисел — это не то же самое, что сложение одних положи­тельных чисел; так, сумма чисел 5 и (-3) — это то же самое, что разность чисел 5 и 3. Сложение дробей — не то же самое, что сложение целых чисел; рис. 1, изображающий сложение чисел, становится непригоден, когда речь заходит о дробях. Однако, называя уже знакомым нам словом «сложение» новую опе­рацию, мы каждый раз должны были лишь «доучиваться», но не «переучиваться»,— навы­ки, выработавшиеся в процессе действий с це-

384