Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

в мощности различных множеств. Упомянем лишь одну из них: существует взаимно-одно­значное соответствие между всеми точками прямой и всеми точками плоскости.

Заметим, наконец, следующее. В матема­тике наибольшее значение имеют так называ­емые числовые множества, т. е. множества, эле­ментами которых являются действительные числа. Все известные в настоящее время чис­ловые множества или счетны, или имеют ту же мощность, что и вся числовая прямая. Воз­никла, таким образом, гипотеза, что всякое несчетное числовое множество имеет ту же мощность, что и вся числовая прямая. Эта гипотеза была высказана еще Кантором и из­вестна под названием континуум-гипотезы. Она не доказана до сих пор, что связано, по-види­мому, с большими трудностями, возникающими при рассмотрении произвольных числовых множеств. Трудности эти получают свое осве­щение в так называемой математической ло­гике, и мы о них здесь, конечно, говорить не можем.

Эта статья имеет своей целью дать лишь начальное представление о некоторых простей­ших понятиях обширной области математики — теории множеств, области, возникшей менее чем сто лет назад.

АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ

Алгебра чисел

В арифметике и алгебре рассматривают числа разной природы — целые числа, рациональ­ные числа (дроби) и другие. Во всех случаях с каждыми двумя числами а и b сопоставляются еще два числа a+b и ab, называемые сум­мой и произведением чисел а и b. Определение суммы и произведения двух чисел различно для чисел разной природы. Так, если a есть целое положительное число, то его можно представлять себе как число предметов

в некотором наборе. При этом сумма а + b означает число предметов, которое мы полу­чим, если объединим первый набор, содержа­щий а предметов, и второй набор, содержащий b предметов (рис. 1). Если же объединим b наборов, каждый из которых содержит по а предметов, то всего мы получим ab предметов

Более сложно определяются сумма и произведение дробей — например, так:

a1/a2+b1/b2=(a1b2+a2b1)/a2b2 и (a1/a2)(b1/b2)=a1b1/a2b2 .

Здесь числа a1, a2, b1, b2 — целые. Иные правила относятся к сложению и умножению отрицательных чисел: среди этих правил есть, скажем, такое:

(- а)(-b)=+ab.

Но независимо от природы рассматривае­мых чисел и от определения суммы и произве­дения чисел общие законы действия над чис­лами остаются одни и те же. Вот эти законы:

а+b=b+a

(коммутативный, или переместительный, закон для сложения);

ab=ba

(коммутативный, или переместительный, закон для умножения);

(а+b)+с=а+(b+с)

(ассоциативный, или сочетательный, закон для сложения);

(ab)c =а(bс)

(ассоциативный, или сочетательный, закон для умножения);

+b=ас+bc

(дистрибутивный, или распредели­тельный, закон).

При этом сразу бросает­ся в глаза, что правила, от­носящиеся к сложению чи­сел, очень похожи на правила умножения.

383