Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

•подписывая под всеми натуральными числами подряд все четные:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...,

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20,...,

получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и его частью — множеством одних лишь чет­ных чисел.

Другой пример: существует взаимно-одно­значное отображение между множеством всех

действительных чисел (между всей числовой прямой) и любым ее интервалом.

Для того чтобы получить такое соответст­вие, можно поступить так. Построим в пло­скости окружность, касающуюся сверху оси абсцисс, и возьмем нижнюю полуокружность PQ этой окружности (рис. 4). Концы Р и Q полуокружности к ней не причисляются. Уста­новим взаимно-однозначное соответствие меж­ду всеми точками полуокружности PQ и всеми точками числовой прямой. Для этого сначала поставим в соответствие каждой точке x пря­мой ту точку h полуокружности, в которой ее пересекает луч, идущий из центра окруж­ности в точку x.

Теперь спроектируем полуокружность PQ на интервал Р'Q' оси абсцисс и поставим в соответствие точке h полуокружности ее проекцию h'.

В результате каждой точке x прямой ока­залась поставленной в соответствие точка h' интервала P'Q', и полученное соответствие есть взаимно-однозначное отображение всей числовой прямой на интервал P'Q'.

Можно доказать и другие, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными, теоремы

Свойства совершенных чисел

«Совершенство» совершенных чисел не исчерпывается совпадением числа и суммы его делителей (см. стр. 325). Любители и профессио­налы-математики со временем обнару­жили еще несколько любопытных осо­бенностей таких чисел, например:

а) каждое из известных совершен­ных чисел может быть представлено:

1) в виде произведения 2 p-1(2р-1), где p—простое число:

V1=6=2(22-1);

V2=28=22(23-1);

V3=496= 24(25-1);

V4=8128=26(27-1);

V5=33550336=212(213-1);

2) в виде суммы последовательных степеней числа 2 от 2p-1 до 22(p-1):

V1=6=2+22;

V2=28=22+23+24;

V3=496=24+25+26+27+28;

V4=8128=26+27+...+211+212;

V5=33550336=212+213 +. . .+224

и т. д.;

б) каждое из известных совер­шенных чисел, начиная с V2, разла­гается на сумму кубов последователь­ных нечетных чисел:

V2=28=13+33; V3=496=13+33+53+73;

V4=8128 =13+33+53+73+93+113+133+153;

V5=33550336= 13+33+. . . + 1273 и т. д.;

в) складывая цифры каждого из известных совершенных чисел, начи­ная с V2, и повторяя этот процесс для получающегося результата неко­торое количество раз, всегда в конце концов получим число 1:

V2=28; 2+8=10; 1+0=1; V3=496; 4+9+6=19;

1+9=10; 1+0=1; V4 = 8128; 8+1+2+8=19;

1 + 9 = 10; 1+0=1; V5 = 33550336; сумма цифр=28; 2+8=10; 1+0=1 и т. д.; г) если за основание системы чисел принять не 10, а 2, как это теперь иногда приходится делать для использования электронных вычисли­тельных машин, то совершенные числа принимают такой вид:

по основанию 10 V1=6=2(22-1); V2=28=22(23-1); V3 =496=24(25-1); V4=8128= 26(27-1);

по основанию 2 V1=110; V2=11 100; V3=111 110 000; V4= 1 111 111 000 000 и т. д.

Как видим, в системе с основа­нием 2 число единичек совпадает с числом р в десятичной записи совер­шенного числа

Vn=2p-1 (2p-1), а число нулей равно p-1.

Желающим предлагаем попробо­вать свои силы в решении следующей трудной задачи, связанной с указан­ным выше свойством 6).

Доказать, что каждое совершен­ное число вида

Vn=2p-1(2p-1), начиная с V2 , разлагается на сумму кубов нечетных чисел, где количество

слагаемых равно 2

382