Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

множествами, возможность которого (в случае конечных множеств) равносильна тому, что оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Это обстоятельство указывает путь и к установлению количественного равенства, или количественной эквивалентно­сти, между двумя бесконечными множест­вами. Мы скажем, что два (конечных или бес­конечных) множества количественно эквива­лентны, или имеют одну и ту же мощность, если между ними возможно установить взаим­но-однозначное соответствие. Понятие «одина­ковой мощности» означает для конечных мно­жеств, что они состоят из одного и того же числа элементов.

Далее скажем, что множество А имеет боль­шую мощность, чем множество В, если можно множество В отобразить взаимно-однозначно на часть множества А и в то же время нельзя отобразить множество А на часть множества В. Теперь можем сказать, что счетные мно­жества — это множества, количественно эквива­лентные множеству натуральных чисел. Но существуют множества и несчетные, например множество всех действительных чисел, интер­вала (0 ; 1) и любого другого интервала1.

Для того чтобы убедиться в том, что всякое несчетное множество имеет большую мощность, чем каждое счетное множество (все счетные мно­жества имеют, очевидно, одну и ту же мощ­ность), надо доказать следующие два пред­ложения:

1. Всякое подмножество счетного множе­ства или конечно, или счетно.

2. Всякое бесконечное (значит, в частности, всякое несчетное) множество содержит счетное.

Доказательство первого утверждения. Пусть X счетное множество, Х0 — какое-нибудь подмножество (т. е. часть) множества X. Элементы множества X могут быть занумерованы посредством натуральных чисел, т. е. записаны в виде:

x1, x2, x3,..., xn.... (2)

Среди этих элементов содержатся и все элементы множества Х0. Пусть это будут — в порядке возрастания номеров в последовательности (2) — элементы:

xn1,xn2,xn3,xnk,... (3)

Возможно одно из двух: или последовательность (3) обрывается на каком-то конечном

шаге k, т. е. множество Х0 состоит из конеч­ного числа элементов: хn1, хn2,..., xnk, или же мы имеем бесконечную последовательность: xn1, хn2,..., xnk ..., которую можем переписать, полагая y1=хn1, у2=хn2,..., yk=xnk,..., в виде:

y1, y2,... yk,...,

непосредственно показывающем, что Х0 — счетное множество.

Доказательство второго ут­верждения. Пусть X бесконечное мно­жество. Выбираем в X какой-нибудь элемент x1.

Несомненно, в X имеются элементы, отлич­ные от х1 (иначе X состояло бы из одного элемента и было бы конечным). Возьмем один из таких элементов и обозначим его через x2, Элементы х1 и х2 не исчерпывают множества X, поэтому существует элемент х3 множества X, отличный как от х1, так и от x2. И так далее. Продолжая этот процесс, получим счет­ное множество: x1, x2, x3,..., xn,..., содержаще­еся в X.

Итак, на вопрос, поставленный в начале нашего изложения: существуют ли бесконечные множества разных «степеней бесконечности» (т. е. разных мощностей),— мы можем ответить утвердительно: существуют состоящие. из действительных чисел множества двух раз­личных мощностей — множество всех дейст­вительных чисел какого-нибудь интервала, с одной стороны, и любое счетное множества действительных чисел (например, множество положительных рациональных чисел) — с дру­гой. К этому выводу мы пришли, обосновывая количественную оценку бесконечных множеств, при помощи понятия взаимно-однозначного со­ответствия. Однако не следует думать, что взаимно-однозначное соответствие между беско­нечными множествами во всем похоже на взаимно-однозначное соответствие между мно­жествами конечными.

Очевидно, никакое конечное множество нельзя взаимно-однозначно отобразить на свою часть (часть никогда не равна целому). Уже простейшие примеры показывают, что это ут­верждение решительно перестает быть верным в области бесконечных множеств: мы видели, что всякое бесконечное подмножество счетного, множества счетно, т. е. счетное множество может быть взаимно-однозначно отображено на всякую свою бесконечную часть. Например,

1 Всякий интервал числовой прямой может быть взаимно-однозначно отображен на интервал (0; 1) например, подобным растяжением или сжатием).

381