Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

лять записей, в которых, начиная с какого-нибудь места, идут одни девятки, то каждое действительное число будет иметь лишь един­ственную запись в виде бесконечной десятич­ной дроби. Докажем теперь теорему о несчет­ности множества действительных чисел от про­тивного: предположим, что множество дей­ствительных чисел [мы говорим все время о чис­лах X интервала (0 ; 1)] счетно, т.е. может быть занумеровано посредством натуральных чисел. Тогда вся совокупность действительных чисел интервала (0 ; 1) может быть записана

в виде последовательности: х1, х2,... Запишем

разложение числа xn в бесконечную десятичную

дробь в виде: xn=0, а(n)1 а(n)2 а(n)3 а(n)4 ... а(n)n,

где а(n)1, а(n)2, а(n)3,... суть последовательные десятичные знаки числа xn, причем, согласно заключенному нами условию, не может слу­читься, что все десятичные знаки начиная с некоторого суть девятки.

Итак, все действительные числа х [интерва­ла (0; 1)] предполагаются записанными в виде:

Приведем наше предположение к противоре­чию, найдя действительное число с, заклю­ченное между 0 и 1 и заведомо не входящее в табл. I. Для этого рассмотрим цифры, стоя­щие по диагонали в табл. I, а именно:

а(1)1(2)2(3)3(4)4(5)5,...,а(n)n,...,

и выберем для каждого n натуральное число bn, не превосходящее число 8 и отличное от числа a(n)n (например, при а(n)n<8 полагаем bn(n)n+1, а при a(n)n=8 полагаем bn=7).

Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

0, b1b2b3b4b5...bn....

Она не содержит ни одной девятки и выражает число с, заключенное между 0 и 1, заведомо отличное от всех чисел х1, x2, x3, ..., хn,... В самом деле, если бы было:

с=хn=0, а(n)1 a(n)2 ... а(n)n...,

то на nместе в разложении числа с мы должны были бы иметь цифру а(n)n, тогда как действительно имеем bna(n)n. Теорема доказана.

Мощность множества

Нам нужно осмыслить полученный резуль­тат и подвести некоторые итоги всему до сих пор сказанному. Мы начали с понятия взаим­но-однозначного соответствия между двумя

Фокус геометрии движения

Начертите замкнутую кривую, пере­секающую себя 10—12 раз. Но кри­вая может пересечь себя в каждой точке не больше одного раза. Все точки пересечения обозначьте различными буквами (в любом порядке). Теперь поставьте карандаш на любую не узловую точку и двигайтесь вдоль кривой, как бы повторил ее построение. Проходя узловую точку, называйте букву, которой точка обозначена.

Обойти надо всю кривую и вернуть­ся в исходный пункт. На каком-нибудь этапе движения назовите две после­довательно проходимые буквы, но не в порядке их следования, а наоборот. Например, если за буквой В следует буква F, вы произносите вслух не «В, F», a «F, В». Мне не сооб­щайте о такой перестановке после­довательности двух букв, но запо­мните это место. Я его угадаю.

Фокус основан на теореме теории узлов. Угадывающему надо записы­вать называемые буквы на полоске бумаги поочередно сверху черты и

снизу. Если перестановки букв не бы­ло, то каждая буква появится однаж­ды сверху и однажды снизу черты. Если перестановка была, то одна бук­ва появится дважды сверху и одна дважды снизу. Вот в этих буквах и бы­ла перепутана их последовательность! Пример. Мне называют буквы: С, С, Е, А, В, D, Е, A, D, В.

Я записываю:

Замечаю, что сверху черты два раза встречается Е, а снизу — два раза А. Значит, узлы Е и А были названы не в той последовательности, в которой они действительно распо­лагались.

380