Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа.

Высоту 6 имеют дроби 1/5, 2/4, 3/3, 4/2,5/1,

среди которых несократимыми являются лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6

имеют числа — и 5.

О

Продолжая рассуждать таким образом даль­ше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой.

В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,

1/(h-1), 2/(h-2),...(h-1)/1.

Их конечное число: h-1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h.

Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начи­наем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и со­считывая то (всегда конечное) число рациональ­ных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r1 получает

номер 1. Далее идут два числа: r2=1/2 и r3=2 высоты 3, потом два числа: г4=1/3 и r5=3

высоты 4, потом четыре числа: r6=1/4, r7=2/3,

r8 =3/2, r9=4 высоты 5, два числа: r10 =1/5,

r11=5 высоты 6 и т. д. Получаем таблицу (через nh обозначено число рациональных чи­сел высоты h):

Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число h, оно найдет свое место в строке, соответствую­щей этой высоте, и получит определенный но­мер, не больший, чем число n2+n3+...+nh_1+nh.

Итак, множество всех положительных ра­циональных чисел есть счетное множество.

Множество всех действительных чисел несчетно

И тем не менее несчетные множества суще­ствуют. Оказывается, множество всех дейст­вительных чисел — несчетно. Этот заме­чательный факт, как и теорема о счетности множества всех рациональных чисел, впервые в 1874 г. был доказан знаменитым немецким математиком Г. Кантором, основателем современной теории множеств.

Георг Кантор.

Воспроизводим доказательст­во Кантора. Доказываем, что несчетным являет­ся уже множество всех действительных чисел интервала1 (0; 1).

Каждое такое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби с целой частью нуль. При этом каждому действительному числу соответствует лишь од­на такая запись, за исключением действительных чисел, выражаемых конечными десятичны­ми дробями: каждое такое число, например 0,2476622021711, может быть записано двумя способами в виде бесконечной десятичной дроби:

0,2476622021711000000000... и

0,2476622021710999999999...

Одна из этих записей начиная с некоторого момента содержит одни лишь нули, а другая— одни девятки. Если мы согласимся не употреб-

1 Под интервалом (а; b) числовой прямой понимает­ся множество всех действительных чисел х, удовлет­воряющих неравенству а<х<b.

379