Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

тетраэдра соответствует противоположная этой вершине сторона или грань. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством всех вершин треугольника (тетраэдра) и множеством всех его сторон (гра­ней). Множество всех сторон правильного мно­гоугольника находится во взаимно-однознач­ном соответствии с множеством всех перпен­дикуляров, которые опущены на эти стороны из центра правильного многоугольника. Мно­жество всех боковых граней пирамиды нахо­дится во взаимно-однозначном соответствии с множеством апофем этой пирамиды и т. д.

Особенно существенным является тот факт, что взаимно-однозначное соответствие возмож­но и между некоторыми бесконечными множест­вами. Приведем примеры. Обозначим через А множество всех точек данной окружности, а через В — множество всех прямых, являющих­ся касательными к этой окружности (рис. 3, 1). Между множествами А и В установится взаим­но-однозначное соответствие, если мы каждой точке окружности поставим в соответствие ка­сательную в этой точке. Таким образом, каж­дому элементу множества А соответствует един­ственный элемент множества В, и каждый эле­мент множества В (т. е. каждая касательная) при этом поставлен в соответствие единствен­ному элементу множества А — точке прикос­новения данной касательной.

Второй пример. Возьмем две пересекающие­ся прямые a1 и b1 (рис. 3, II). Обозначим через А множество всех точек прямой a1, а через В — множество, состоящее из прямой b1 и из всех прямых, ей параллельных. Каж­дому элементу b множества В (т. е. каждой пря­мой b, параллельной прямой b1 или совпадаю­щей с ней) соответствует единственный эле­мент множества А — единственная точка пря­мой a1, в которой ее пересекает прямая b.

В качестве третьего примера возьмем уже рассмотренное нами множество равносторон­них треугольников

T1, Т2,...Тn,...,

каждый из которых, кроме первого, вписан в предыду­щий (рис. 3, III). Множество всех этих треугольников обоз­начим через X. Каждый тре­угольник получил определен­ное натуральное число n в ка­честве своего номера.

Номером треугольника Тn является натуральное число n. Этим, очевидно, установлено взаимно-одно­значное соответствие между множеством X на­ших треугольников и множеством всех нату­ральных чисел.

Счетные множества

Вообще, если все элементы какого-нибудь множества X удается занумеровать посредст­вом натуральных чисел так, что каждое нату­ральное число придано в качестве номера лишь одному элементу множества X, то такой нуме­рацией устанавливается взаимно-однозначное соответствие между данным множеством X и множеством всех натуральных чисел. И обрат­но, всякое взаимно-однозначное соответствие между каким-нибудь множеством X и множе­ством всех натуральных чисел можно рассмат­ривать как нумерацию (сосчитывание) элемен­тов множества X посредством натуральных чисел,— мы просто приписываем каждому эле­менту множества X в качестве номера соответ­ствующее ему натуральное число.

Мы здесь коснулись очень важного понятия. Ведь установление взаимно-однозначного соот­ветствия между некоторым множеством X и множеством всех натуральных чисел есть пря­мое перенесение в область бесконечных мно­жеств пересчитывания какого-либо конечного множества (например, корзины яблок или стада гусей) с помощью натуральных чисел. Только в случае конечных множеств мы для сосчитывания его элементов нуждаемся лишь в конеч­ном числе чисел (мы считаем: раз, два, три и т. д.— до того числа, которое показывает, сколько у нас яблок в корзине или гусей в ста­де). В примере множества треугольников

Т12, Т3,...,Тn,... (1)

или вообще любого множества X, которое мо­жет быть приведено во взаимно-однозначное соответствие с множеством всех натуральных чисел, мы вынуждены в качестве номеров поль­зоваться всеми натуральными числами.

377