Детская энциклопедия
Том 1. Земля. Том 4. Растения и животные. Том 7. Человек. Том 10. Зарубежные страны.
Том 2. Мир небесных тел. Числа и фигуры. Том 5. Техника и производство. Том 8. Из истории человеческого общества. Том 11. Язык. Художественная литература.
Том 3. Вещество и энергия. Том 6. Сельское хозяйство. Том 9. Наша советская Родина. Том 12. Искусство.

чине, что бесконечное множество нельзя «сосчи­тать». Во всяком случае, мы не знаем, как это сделать. Поэтому постараемся ответить на во­прос, чего у нас больше — яблок или груш, не сосчитывая их, т. е. не пользуясь понятием

Бернард Больцано.

числа. Вот какой представляется для этого путь.

Разложим наши яблоки, хотя бы на столе, и попробуем положить против каждого яблока по груше. Возможны три случая (рис. 2).

Первый случай: против каждого яблока дей­ствительно окажется груша, и при этом не только все яблоки, но и все груши окажутся разложенными. В этом случае, очевидно, у нас столько же яблок, сколько и груш.

Второй случай: против каждого яблока окажется по груше, но при этом еще останется несколько груш в корзине — в этом случае у нас больше груш, чем яблок.

Наконец, возможен последний, третий случай: стараясь разложить все груши так, чтобы против каждого яблока лежала груша, мы не достигнем цели — нам не хватит груш. Тогда, очевидно, груш меньше, чем яблок.

Как видите, мы смогли произвести количе­ственную оценку двух множеств — корзины яблок и корзины груш, не сосчитывая точно, сколько имеется тех и других плодов, но уста­новив, каких плодов больше, или убедившись, что их имеется одинаковое количество. Эту оценку мы произвели, установив, как говорят, взаимно-однозначное соответ­ствие между одним множеством и другим или частью другого. Для лучшего уяснения, что такое взаимно-однозначное соответствие между

двумя множествами, приведем еще несколько примеров.

Дается концерт. Чтобы на него пойти, надо купить билет. Перед нами два множества: мно­жество людей, которые хотят пойти на этот концерт,— обозначим его через А и множество билетов — обозначим его через В. Возможны разные случаи. Первый (не очень вероятный, но математически самый простой): все желаю­щие пойти на концерт приобрели билеты, и все билеты при этом оказались проданными. Тогда каждому элементу множества А (т. е. каждому человеку, желающему пойти на концерт) соот­ветствует определенный элемент множества В (купленный этим человеком билет). При этом каждый элемент множества В поставлен в соот­ветствие одному-единственному элементу мно­жества А (человеку, купившему этот билет). Установлено взаимно-однозначное соответст­вие между множеством А и множеством В, или установлено взаимно-однозначное отобра­жение одного из этих множеств на другое.

Однако может случиться, что каждый чело­век, желавший пойти на концерт, купил себе билет, но в кассе остались еще не распроданные билеты. Опять получается взаимно-однознач­ное отображение множества А, но уже не на все множество В, а только на некоторую его часть — на ту часть, или, как говорят, на то подмножество, множества В, которое состоит из всех проданных билетов. Может, наконец, случиться, что все билеты проданы, но не все желающие пойти на концерт смогли купить билеты. Тогда обозначим через А' мно­жество тех людей, которые не только хотели пойти на концерт, но и получили на него билет. Множество А' оказалось взаимно-однозначно отображенным на множество В.

В математике можно найти многочисленные примеры взаимно-однозначных соответствий. Например, каждой вершине треугольника или

376